Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2008 год
Задача №1. На стене висят портреты знаменитых ученых. Все они жили в период с
1600 по 2008 год, причем каждый из них прожил не более 80 лет. Вася
перемножил годы рождения этих ученых, а Петя перемножил годы их смерти.
Результат Пети оказался ровно в 54 раза больше, чем у Васи.
Какое наименьшее количество портретов может висеть на стене?
(
В. Франк
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Докажите, что все составные натуральные числа, не превосходящие 106,
можно расставить по кругу так, чтобы никакие два соседних числа не были
взаимно просты.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. 100 клеток бесконечной клетчатой плоскости образуют квадрат 10×10.
Единичные отрезки, являющиеся сторонами этих клеток, покрашены в
несколько цветов. Оказалось, что на границе любого квадрата со сторонами,
идущими по линиям сетки, присутствуют отрезки не более, чем двух цветов.
(Рассматриваемые квадраты не обязаны содержаться в исходном квадрате
10×10.) Какое наибольшее количество цветов может присутствовать в
раскраске?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Точка I1 симметрична центру I вписанной окружности треугольника ABC
относительно стороны BC. Описанная окружность треугольника BCI1
вторично пересекает прямую II1 в точке P. Известно, что P лежит
вне вписанной окружности треугольника ABC. Из точки P
проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках X
и Y. Докажите, что прямая XY содержит среднюю линию треугольника ABC.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка.
Вагон выдерживает груз весом до 1000кг, а тележка — всего 1кг.
На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что
их общая масса больше, чем 1001кг, а каждый мешок весит не больше 1кг.
Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и
маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на
складе?
(
В. Франк,
Д. Ростовский,
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
Ее диагонали AC и BD пересекаются в точке M. На отрезке AB нашлись
такие точки X и Y, что AX=AM, BY=BM. Пусть точка Z — середина
отрезка XY, а N — точка пересечения отрезков XD и YC.
Докажите, что прямая ZN параллельна основаниям трапеции.
(
А. Акопян,
А. Мякишев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Множество X, состоящее из натуральных чисел, называется симпатичным,
если для любых a, b∈X ровно одно из чисел a+b и |a−b|
принадлежит X (числа a и b могут совпадать). Найдите количество
симпатичных множеств, содержащих число 2008.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Из натуральных чисел от 1 до 501 выбрано 250 чисел.
Докажите, что для любого целого t найдутся
такие четыре выбранных числа a1, a2, a3 и a4, что
a1+a2+a3+a4−t делится на 23.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение