Processing math: 100%

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2008 год


Задача №1.  На стене висят портреты знаменитых ученых. Все они жили в период с 1600 по 2008 год, причем каждый из них прожил не более 80 лет. Вася перемножил годы рождения этих ученых, а Петя перемножил годы их смерти. Результат Пети оказался ровно в 54 раза больше, чем у Васи. Какое наименьшее количество портретов может висеть на стене? ( В. Франк )
комментарий/решение
Задача №2.  Докажите, что все составные натуральные числа, не превосходящие 106, можно расставить по кругу так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №3.  100 клеток бесконечной клетчатой плоскости образуют квадрат 10×10. Единичные отрезки, являющиеся сторонами этих клеток, покрашены в несколько цветов. Оказалось, что на границе любого квадрата со сторонами, идущими по линиям сетки, присутствуют отрезки не более, чем двух цветов. (Рассматриваемые квадраты не обязаны содержаться в исходном квадрате 10×10.) Какое наибольшее количество цветов может присутствовать в раскраске? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  Точка I1 симметрична центру I вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC. Описанная окружность треугольника BCI1 вторично пересекает прямую II1 в точке P. Известно, что P лежит вне вписанной окружности треугольника ABC. Из точки P проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках X и Y. Докажите, что прямая XY содержит среднюю линию треугольника ABC. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение
Задача №5.  В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка. Вагон выдерживает груз весом до 1000кг, а тележка — всего 1кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем 1001кг, а каждый мешок весит не больше 1кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение
Задача №6.  Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Ее диагонали AC и BD пересекаются в точке M. На отрезке AB нашлись такие точки X и Y, что AX=AM, BY=BM. Пусть точка Z — середина отрезка XY, а N — точка пересечения отрезков XD и YC. Докажите, что прямая ZN параллельна основаниям трапеции. ( А. Акопян, А. Мякишев )
комментарий/решение
Задача №7.  Множество X, состоящее из натуральных чисел, называется симпатичным, если для любых a, bX ровно одно из чисел a+b и |ab| принадлежит X (числа a и b могут совпадать). Найдите количество симпатичных множеств, содержащих число 2008. ( Ф. Петров )
комментарий/решение
Задача №8.  Из натуральных чисел от 1 до 501 выбрано 250 чисел. Докажите, что для любого целого t найдутся такие четыре выбранных числа a1, a2, a3 и a4, что a1+a2+a3+a4t делится на 23. ( К. Кохась )
комментарий/решение