қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2008 год
Задача №1. На стене висят портреты знаменитых ученых. Все они жили в период с
1600 по 2008 год, причем каждый из них прожил не более 80 лет. Вася
перемножил годы рождения этих ученых, а Петя перемножил годы их смерти.
Результат Пети оказался ровно в $5\over 4$ раза больше, чем у Васи.
Какое наименьшее количество портретов может висеть на стене?
(
В. Франк
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Докажите, что все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$,
можно расставить по кругу так, чтобы никакие два соседних числа не были
взаимно просты.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. 100 клеток бесконечной клетчатой плоскости образуют квадрат $10\times 10$.
Единичные отрезки, являющиеся сторонами этих клеток, покрашены в
несколько цветов. Оказалось, что на границе любого квадрата со сторонами,
идущими по линиям сетки, присутствуют отрезки не более, чем двух цветов.
(Рассматриваемые квадраты не обязаны содержаться в исходном квадрате
$10\times 10$.) Какое наибольшее количество цветов может присутствовать в
раскраске?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Точка $I_1$ симметрична центру $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$
относительно стороны $BC$. Описанная окружность треугольника $BCI_1$
вторично пересекает прямую $II_1$ в точке $P$. Известно, что $P$ лежит
вне вписанной окружности треугольника $ABC$. Из точки $P$
проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках $X$
и $Y$. Докажите, что прямая $XY$ содержит среднюю линию треугольника $ABC$.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка.
Вагон выдерживает груз весом до $1000$кг, а тележка — всего $1$кг.
На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что
их общая масса больше, чем $1001$кг, а каждый мешок весит не больше $1$кг.
Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и
маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на
складе?
(
В. Франк,
Д. Ростовский,
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.
Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлись
такие точки $X$ и $Y$, что $AX=AM$, $BY=BM$. Пусть точка $Z$ — середина
отрезка $XY$, а $N$ — точка пересечения отрезков $XD$ и $YC$.
Докажите, что прямая $ZN$ параллельна основаниям трапеции.
(
А. Акопян,
А. Мякишев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Множество $X$, состоящее из натуральных чисел, называется симпатичным,
если для любых $a$, $b\in X$ ровно одно из чисел $a+b$ и $|a-b|$
принадлежит $X$ (числа $a$ и $b$ могут совпадать). Найдите количество
симпатичных множеств, содержащих число 2008.
(
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Из натуральных чисел от 1 до 501 выбрано 250 чисел.
Докажите, что для любого целого $t$ найдутся
такие четыре выбранных числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$, что
$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 -t $ делится на 23.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение