В. Франк

Задача №1. В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка. Вагон выдерживает груз весом до $1000$кг, а тележка — всего $1$кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $1001$кг, а каждый мешок весит не больше $1$кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. В распоряжении грузчика есть две тележки: одна выдерживает 8 кг, а другая — $9$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $17$ кг, а каждый мешок весит не больше 1 кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить на эти две тележки, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №3. На стене висят портреты знаменитых ученых. Все они жили в период с 1600 по 2008 год, причем каждый из них прожил не более 80 лет. Вася перемножил годы рождения этих ученых, а Петя перемножил годы их смерти. Результат Пети оказался ровно в $5\over 4$ раза больше, чем у Васи. Какое наименьшее количество портретов может висеть на стене? ( В. Франк )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. Многочлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x$. Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x$. ( В. Франк )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Квадратные трехчлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x.$ Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x.$ ( В. Франк )
комментарий/решение(2) олимпиада