қазақша
русскийВ. Франк
Есеп №1. Жүк тиеушіде бір вагон және кішкене арба бар. Вагон 1000 кг жүкті, ал арба 1 кг жүкті көтере алады. Қоймада бірнеше (шектеулі), құм толтырылған қапшықтар бар. Олардың барлығының салмағы 1001 килограмнан артық, ал әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймадағы жатқан қапшықтардың қандай екеніне байланыссыз, жүк тиеуші, вагон мен арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құм тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Жүк тиеушіде 8 кг жүкке және 9 кг жүкке арналған арбалар бар. Қоймада құм толтырылған бірнеше (шектеулі) қапшықтар жатыр. Осы қапшықтардың барлығының салмағы 17 килограмнан артық және әрбір қапшық 1 килограмнан аспайтыны белгілі. Қоймада қандай қапшықтардың жатқанына байланыссыз, жүк тиеуші осы екі арбаға ең көп дегенде қанша килограмм құмды тией алады? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. Қабырғада атақты ғалымдардың портреттері ілініп тұр. Олардың барлығы 1600 және 2008 мерзім аралығында өмір сүрген, алайда 80 жылдан артық емес. Вася осы ғалымдардың туылған жылдарын көбейтіп шықты, ал Петя олардың қайтыс болған жылдарын көбейтіп шықты. Петяның алған саны, Васяның алған санынан дәл $\dfrac{5}{4}$ есе үлкен болып шықты. Қабырғада ең кем дегенде неше портрет ілініп тұруы мүмкін? ( В. Франк )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Многочлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x$. Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x$. ( В. Франк )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №5. Квадратные трехчлены $F$ и $G$ таковы, что $F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных $x.$ Докажите, что $F(x) > G(x)$ для всех вещественных $x.$ ( В. Франк )
комментарий/решение(2) олимпиада