қазақша
русскийД. Ростовский
Задача №1. В квадрате $n \times n$ ($n > 2$) стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в $k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (т.е.\ в остальных $2n-2$ клетках той же строки и того же столбца) При каких $k$ такое возможно? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2. Найдите наибольшее число $h$, удовлетворяющее следующему условию: для любого числа $a\in [0,h]$ и любого многочлена $P(x)$ степени 99, такого, что $P(0)=P(1)=0$, найдутся такие $x_1,x_2\in [0,1]$, что $P(x_1)=P(x_2)$ и $x_2-x_1=a$. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Задача №3. В распоряжении грузчика есть вагон и маленькая тележка. Вагон выдерживает груз весом до $1000$кг, а тележка — всего $1$кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $1001$кг, а каждый мешок весит не больше $1$кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить в вагон и маленькую тележку, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. В распоряжении грузчика есть две тележки: одна выдерживает 8 кг, а другая — $9$ кг. На складе лежит несколько (конечное число) мешков с песком. Известно, что их общая масса больше, чем $17$ кг, а каждый мешок весит не больше 1 кг. Какую наибольшую массу песка грузчик заведомо сможет загрузить на эти две тележки, независимо от того, какие именно мешки лежат на складе? ( В. Франк, Д. Ростовский, М. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5. Точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Точки $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Известно, что $\angle BIC_1 + \angle CIB_1 = 180^\circ$. Докажите равенство $AB+AC=3BC$. ( Д. Ростовский, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6. В клетках доски, изображенной на рисунке, стоят несколько ладей, которые бьют все клетки (считается, что ладья бьет клетку, на которой стоит). Докажите, что можно убрать несколько ладей, оставив не более 11, так, чтобы оставшиеся ладьи по-прежнему били все клетки.
комментарий/решение олимпиада