А. Храбров

Задача №1. Каждое из чисел $x$, $y$ и $z$ не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство $$ \frac{{{x}^{2}}}{1+x+xyz}+\frac{{{y}^{2}}}{1+y+xyz}+\frac{{{z}^{2}}}{1+z+xyz}\leq 1.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Делитель натурального числа называется собственным, если он меньше этого числа, но больше 1. У натурального числа $n$ нашли все собственные делители (их оказалось не меньше трёх) и записали всевозможные их попарные суммы (повторно одинаковые суммы не записывали). Докажите, что полученный набор не мог оказаться набором всех собственных делителей никакого натурального числа. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. В квадрате $n \times n$ ($n > 2$) стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в $k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (т.е.\ в остальных $2n-2$ клетках той же строки и того же столбца) При каких $k$ такое возможно? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. Произведение положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равно 1. Докажите, что $${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №5. Найдите наибольшее число $h$, удовлетворяющее следующему условию: для любого числа $a\in [0,h]$ и любого многочлена $P(x)$ степени 99, такого, что $P(0)=P(1)=0$, найдутся такие $x_1,x_2\in [0,1]$, что $P(x_1)=P(x_2)$ и $x_2-x_1=a$. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. Неотрицательные числа $a$, $b$ и $c$ удовлетворяют условию $a^2+b^2+c^2 \geq 3$. Докажите неравенство $(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca).$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №7. Существует ли такой квадратный трехчлен $f(x)$, что $f(1/2017)=1/2018$ и $f(1/2018)=1/2017$ и два его коэффициента целые? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Дано нечётное натуральное число $a$, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида $\frac{a-{{n}^{2}}}{4}$, где $n$ — натуральное число. Оказалось, что при $n\le \sqrt{a/5}$ все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Для любых положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $\sqrt {ab} \le \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №10. Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых не меньше 50. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №11. Вдоль прямого шоссе Тмутаракань — Урюпинск в точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{100}$ стоят вышки оператора сотовой связи ДПС, а в точках $B_1$, $B_2$, $\dots$, $B_{100}$ — вышки компании "Рупор". (Нумерация вышек может не совпадать с порядком их расположения вдоль шоссе.) Каждая вышка действует на расстоянии 10~км в обе стороны вдоль шоссе. Известно, что $A_iA_k \geq B_iB_k$ при любых $i$, $k\leq 100$. Докажите, что суммарная длина всех участков шоссе, охваченных сетью ДПС, не меньше, чем длина участков, охваченных сетью "Рупор". ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №12. Дан квадратный трехчлен $f(x)=x^2+ax+b$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий неравенству $f(x) \geq -{9\over 10}$ при любом $x$. Докажите, что $f(x)\geq -{1\over 4}$ при любом $x$. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №13. При каких натуральных $n \geq 3$ числа от 1 до $n$ можно расставить по кругу так, чтобы каждое число не превосходило 60% суммы двух своих соседей? ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №14. Для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих условию $a^2+b^2+c^2=1$, докажите неравенство $${a\over a^3+bc} + {b\over b^3+ca} + {c\over c^3+ab} > 3 .$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №15. Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна $4$. Докажите, что $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \leq 8$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №16. 50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №17. 50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №18. Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{11},$ что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи? ( А. Храбров )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №19. Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство $$\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).$$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(2) олимпиада