Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. 200 человек стоят по кругу. Каждый из них либо лжец, либо конформист. Лжец всегда лжет. Конформист, рядом с которым стоят два конформиста, всегда говорит правду. Конформист, рядом с которым стоит хотя бы один лжец, может как говорить правду, так и лгать. 100 из стоящих сказали: «Я — лжец», 100 других сказали: «Я — конформист». Найдите наибольшее возможное число конформистов среди этих 200 человек.
(
Р. Женодаров,
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Из шахматной доски размером 13×13 вырезали две противоположные угловые клетки. На оставшейся части доски отметили несколько клеток. Докажите, что на отмеченные клетки можно поставить шахматных королей так, чтобы всего королей было не больше 47, и они били все пустые отмеченные клетки. Напомним, что шахматный король бьет все клетки, соседние с ним по вертикали, горизонтали и диагонали.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Точка P внутри треугольника AOD такова, что CD∥BP и AB∥CP. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе угла AOD.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Каждое из чисел x, y и z не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyz≤1.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)