Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур заключительного этапа


Задача №1.  200 человек стоят по кругу. Каждый из них либо лжец, либо конформист. Лжец всегда лжет. Конформист, рядом с которым стоят два конформиста, всегда говорит правду. Конформист, рядом с которым стоит хотя бы один лжец, может как говорить правду, так и лгать. 100 из стоящих сказали: «Я — лжец», 100 других сказали: «Я — конформист». Найдите наибольшее возможное число конформистов среди этих 200 человек. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Из шахматной доски размером 13×13 вырезали две противоположные угловые клетки. На оставшейся части доски отметили несколько клеток. Докажите, что на отмеченные клетки можно поставить шахматных королей так, чтобы всего королей было не больше 47, и они били все пустые отмеченные клетки. Напомним, что шахматный король бьет все клетки, соседние с ним по вертикали, горизонтали и диагонали. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Точка P внутри треугольника AOD такова, что CDBP и ABCP. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе угла AOD. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Каждое из чисел x, y и z не меньше 0 и не больше 1. Докажите неравенство x21+x+xyz+y21+y+xyz+z21+z+xyz1. ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)
результаты