Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1.  Шеңбер бойында 200 адам тұр. Олардың әрбірі немесе өтірікші, немесе конформист. Өтірікші әрқашан да өтірік айтады. Егер бір конформисттің жанында екі конформист тұрса, ол конформист әрқашан да шындықты айтады. Егер бір конформисттің жанында кемінде бір өтірікші тұрса, онда ол конформист шындықты да, өтірікті де айта алады. Тұрғандардың ішінде 100 адам:
«Мен өтірікшімін»,
қалған 100-і: «Мен конформистпін» -- деді.
Осы 200 адамның ішінде конформисттердің ең көп мүмкін санын табыңдар. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Өлшемі $13\times 13$ шахмат тақтасынан қарама-қарсы бұрыштағы екі шаршыны кесіп алып тастаған. Тақтаның қалған бөлігіндегі шаршылардың бірнешесі белгіленген. Тақтаның белгіленген шаршыларына, қалған белгіленген бос шаршылардың бәрі ұрылатындай саны 47-ден көп емес корольдерді қойып шығуға болатынын дәлелде. Ескерту: шахматтық король оған қабырға және диагональ бойынша орналасқан барлық көрші шаршыларды ұрады. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары тең және $O$ нүктесінде қиылысады. $AOD$ бұрышының ішінен $CD \parallel BP$ және $AB \parallel CP$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $P$ нүктесі $AOD$ бұрышының биссектриссасында жатқанын дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Әр $x$, $y$ және $z$ саны 0-ден кем емес және 1-ден үлкен емес. Келесі теңсіздікті дәлелдеңдер $\dfrac{{{x}^{2}}}{1+x+xyz}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1+y+xyz}+\dfrac{{{z}^{2}}}{1+z+xyz}\le 1$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)

---