Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа


Сумма неотрицательных чисел a, b, c и d равна 4. Докажите, что (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)8. ( А. Храбров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     (ab+cd)(ac+bd)ab+cd+ac+bd2=(a+d)(b+c)212(a+b+c+d2)2=2. Аналогично, (ab+cd)(ad+bc)2 и (ac+bd)(ad+bc)2. Перемножая три полученных неравенства, получаем искомое.

пред. Правка 3   2
3 года назад #

По Коши-Буняковского имеем (a2+b2+c2+d2)(1+1+1+1)(a+b+c+d)2 то есть a2+b2+c2+d2(a+b+c+d)24=a+b+c+d=4

По AM-GM получаем, что (ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc), (ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3=((a+b+c+d)2(a2+b2+c2+d2)6)3(1646)3=8, отсюда следует, что 8(ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc), 8(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)

  0
2 года 11 месяца назад #

бедных 8-классников заставили решать неравенства

  1
2 года 11 месяца назад #

pokpokben, что ты мудришь? Лучше бы вместо слов "Коши-Буняковский" написал бы неравенство между средне квадратичным и арифметическим для четырёх чисел, не надо пугать 8-классников, они только начинают свой путь

  1
7 дней 16 часов назад #

По AMGM 8=2a+2b+2c+2da2+1+b2+1+c2+1+d2+1a2+b2+c2+d24;if(ab+bc)(ac+bd)(ad+bc)>816=(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2((ab+bc)+(ac+bd)+(ad+bc))4+338(ab+bc)(ac+bd)(ad+bc)>4+34=16