Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. √(ab+cd)(ac+bd)≤ab+cd+ac+bd2=(a+d)(b+c)2≤12(a+b+c+d2)2=2. Аналогично, √(ab+cd)(ad+bc)≤2 и √(ac+bd)(ad+bc)≤2. Перемножая три полученных неравенства, получаем искомое.
По Коши-Буняковского имеем (a2+b2+c2+d2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)2 то есть a2+b2+c2+d2≥(a+b+c+d)24=a+b+c+d=4
По AM-GM получаем, что (ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3≥(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc), (ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3=((a+b+c+d)2−(a2+b2+c2+d2)6)3≤(16−46)3=8, отсюда следует, что 8≥(ab+cd+ac+bd+ad+bc3)3≥(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc), 8≥(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
По AM≥GM 8=2a+2b+2c+2d≤a2+1+b2+1+c2+1+d2+1⇒a2+b2+c2+d2≥4;⠀if⠀(ab+bc)(ac+bd)(ad+bc)>8⇒16=(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2((ab+bc)+(ac+bd)+(ad+bc))≥4+33√8(ab+bc)(ac+bd)(ad+bc)>4+3⋅4=16
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.