Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1. Можно ли прямоугольник $1000 \times 2016$ разрезать на прямоугольники $1 \times 2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В школе $30$ кружков, в каждом занимаются $40$ детей. Для каждого $i = 1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать $40$ кружков с $30$ детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми. ( В. Дольников )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Сумма неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна $4$. Докажите, что $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \leq 8$. ( А. Храбров )
комментарий/решение(4)

---

Задача №4.  Дан параллелограмм $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ и продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбраны соответственно точки $K$, $L$ и $M$ так, что треугольники $KLM$ и $BCA$ равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок $KM$ пересекает отрезок $AD$ в точке $N$. Докажите, что $LN \parallel AB$. ( Б. Обухов )
комментарий/решение(2)

---