Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Можно ли прямоугольник 1000×2016 разрезать на прямоугольники 1×2015 и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов?
(
Е. Бакаев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В школе 30 кружков, в каждом занимаются 40 детей. Для каждого i=1,2,…,30 обозначим через ni количество детей, занимающихся ровно в i кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать 40 кружков с 30 детьми в каждом так, чтобы числа ni для этих новых кружков были бы теми же самыми.
(
В. Дольников
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Сумма неотрицательных чисел a, b, c и d равна 4. Докажите, что (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)≤8.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB и BC и продолжении стороны CD за точку D выбраны соответственно точки K, L и M так, что треугольники KLM и BCA равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок KM пересекает отрезок AD в точке N. Докажите, что LN∥AB.
(
Б. Обухов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)