Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа

В школе $30$ кружков, в каждом занимаются $40$ детей. Для каждого $i = 1, 2, \ldots, 30$ обозначим через $n_i$ количество детей, занимающихся ровно в $i$ кружках. Докажите, что в этой же школе можно организовать $40$ кружков с $30$ детьми в каждом так, чтобы числа $n_i$ для этих новых кружков были бы теми же самыми. ( В. Дольников )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Выпишем в ряд членов первого кружка, за ними — второго и т.д. При этом если ребёнок входит и в $i$-ый и в $(i+1)$-ый кружок, мы его в списке $(i+1)$-ого кружка записываем таким же по счёту, что в списке $i$-го. Нарезав получившийся длинный список на куски длины $30$, получим $40$ новых кружков, которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи. При этом никто не попадёт в один кружок дважды, потому что расстояние между двумя вхождениями в длинный список одного и того же ребёнка по построению не меньше $40$, а, значит, и не меньше $30$.