Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2015-2016 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Мектепте $30$ үйірме бар, және әр үйірмеге $40$ бала қатысады. Әр $i=1, 2, \ldots, 30$ үшін $n_i$ арқылы дәл $i$ үйірмеге қатысатын балалар санын белгілейік. Жаңа үйірмелер үшін $n_i$ сандары сол қалпы қалатындай, осы мектепте әр үйірмеге $30$ бала қатысатындай жаңадан $40$ үйірме ұйымдастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Выпишем в ряд членов первого кружка, за ними — второго и т.д. При этом если ребёнок входит и в $i$-ый и в $(i+1)$-ый кружок, мы его в списке $(i+1)$-ого кружка записываем таким же по счёту, что в списке $i$-го. Нарезав получившийся длинный список на куски длины $30$, получим $40$ новых кружков, которые, очевидно, удовлетворяют условию задачи. При этом никто не попадёт в один кружок дважды, потому что расстояние между двумя вхождениями в длинный список одного и того же ребёнка по построению не меньше $40$, а, значит, и не меньше $30$.