Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа


Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB и BC и продолжении стороны CD за точку D выбраны соответственно точки K, L и M так, что треугольники KLM и BCA равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок KM пересекает отрезок AD в точке N. Докажите, что LNAB. ( Б. Обухов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Проведём через L прямую, параллельную KM; пусть она пересекает прямые AB и CD в точках P и Q соответственно. Заметим, что высоты треугольников BCA и KLM, опущенные из соответственных вершин C и L, равны; в свою очередь, они равны расстояниям между парами параллельных прямых AB, CD и KM, PQ. Значит, эти прямые образуют ромб KPQM, то есть PK=KM=AB. Отсюда имеем BP=KPKB=ABKB=AK. Кроме того, из параллельности получаем AKN=BPL и NAK=LBP. Значит, треугольники AKN и BPL равны; в частности, AN=BL. Поэтому четырёхугольник ANLB — параллелограмм, и LNAB.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Проведём через точку L прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает прямую KM в точке N. Тогда BKL=KLN; кроме того, по условию KBL=LKN. Следовательно, треугольники BKL и KLN подобны по двум углам, откуда KN/BL=LN/KL=LN/BC (последнее равенство верно, поскольку KL=BC). С другой стороны, в трапеции MKBC отрезок NL параллелен основаниям, поэтому KN/BL=KM/BC=AB/BC. Таким образом, LN/BC=KN/BL=AB/BC, то есть LN=AB. Значит, ABLN — параллелограмм, а значит, точка N лежит на AD и, следовательно, совпадает с N, откуда LNAB.