Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2015-2016 учебный год, II тур заключительного этапа


Можно ли прямоугольник 1000×2016 разрезать на прямоугольники 1×2015 и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов? ( Е. Бакаев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя. Решение. Допустим, можно. Очевидно, каждый из прямоугольников 1×2015 примыкает к одной из коротких сторон прямоугольника 1000×2016, а от другой стороны отстоит на одну клетку. Назовём прямоугольник 1×2015 чёрным (соответственно, белым), если эта клетка покрыта уголком, две другие клетки которого находятся выше (соответственно, ниже) этого прямоугольника.
       Самый нижний из прямоугольников 1×2015 должен быть чёрным: иначе ниже него расположен прямоугольник 2016×k, количество клеток которого делится на 3 и который должен быть полностью замощён трёхклеточными уголками и «доминошкой» из двух клеток, что невозможно. По той же причине самый верхний из прямоугольников 1×2015 должен быть белым. Но тогда среди прямоугольников 1×2015 найдутся чёрный и белый, лежащий выше этого чёрного, между которыми нет других таких прямоугольников. Лежащий между ними прямоугольник 2016×k должен быть полностью замощён трёхклеточными уголками и двумя «доминошками» из двух клеток, что невозможно.