Е. Бакаев

Задача №1. Числа

$1$ ,

$2$ ,

$3$ ,

$4$ ,

$5$ ,

$6$ ,

$7$ записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число

$\textit{хорошим}$ , если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(8) олимпиада

Задача №2. Можно ли прямоугольник

$1000 \times 2016$ разрезать на прямоугольники

$1 \times 2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Числа 1, 2,

$\ldots,$ 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные

$k_1,$

$k_2,$

$\ldots,$

$k_{500}$ и синие

$s_1,$

$s_2,$

$\ldots,$

$s_{500}.$ Докажите, что количество таких пар

$m$ и

$n$ , у которых разность

$k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар

$m$ и

$n$ , у которых разность

$s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
Напомним, что остатком от деления целого числа

$a$ на 100 называется разность между числом

$a$ и ближайшим числом, не большим

$a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен

$2022-2000 = 22$ , а остаток от деления числа

$-11$ на 100 равен

$-11-(-100) = 89.$ ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1) олимпиада