Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Числа $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число $\textit{хорошим}$, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?
(
Е. Бакаев
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №2. В каждой клетке таблицы $100 \times 100$ записано одно из чисел $1$ или $-1$. Могло ли оказаться, что ровно в 99 строках суммы чисел отрицательны, а ровно в 99 столбцах — положительны?
(
Д. Ненашев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD = 90^\circ$ и $BC = CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF = 90^\circ$. Докажите, что $MF \perp CD$.
(
Н. Чернега
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$?
(
Р. Женодаров,
О. Дмитриев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)