Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, I тур регионального этапа

В каждой клетке таблицы $100 \times 100$ записано одно из чисел $1$ или $-1$. Могло ли оказаться, что ровно в 99 строках суммы чисел отрицательны, а ровно в 99 столбцах — положительны? ( Д. Ненашев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не могло.
Решение. Пусть искомая расстановка существует. Поскольку в каждой строке и в каждом столбце таблицы стоит чётное количество нечётных чисел, все суммы чисел в строках и столбцах чётны. Поэтому в каждой строке с отрицательной суммой эта сумма не больше $-2$. Следовательно, сумма всех чисел в таблице не превосходит $99 \cdot (-2)+100 = -98$. С другой стороны, в каждом столбце с положительной суммой эта сумма не меньше $2$, и потому сумма всех чисел в таблице не меньше $99\cdot 2-100 = 98$. Противоречие.