О. Дмитриев

Задача №1. Олег и Сергей по очереди выписывают слева направо по одной цифре, пока не получится девятизначное число. При этом нельзя выписывать цифры, которые уже выписаны. Начинает (и заканчивает) Олег. Олег побеждает, если полученное число кратно 4, в противном случае побеждает Сергей. Кто победит при правильной игре? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Взяли четыре натуральных числа. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Получились шесть чисел: $1, 2, 3, 4, 5, N$, где $N > 5$. Какое наименьшее значение может принимать число $N$? ( О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Разрешается вырезать из шахматной доски размером $20\times20$ любые $18$ клеток, а потом выставить на оставшиеся клетки несколько ладей, не бьющих друг друга. Какое наибольшее число ладей можно выставить таким образом? Ладьи бьют друг друга, если они стоят на одной горизонтали или вертикали доски и между ними нет вырезанных клеток. ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Зрители оценивают фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычисляется как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг был целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. В ряд выложено $100$ монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат подряд $50$ фальшивых (а остальные— настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы $34$ настоящие монеты? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три ее вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое ее звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Зелёный хамелеон всегда говорит правду, а коричневый хамелеон врёт, после чего зеленеет. В компании из 2019 хамелеонов каждый по очереди ответил на вопрос, сколько среди них сейчас зелёных. Ответами были числа 1, 2, 3, $\ldots,$ 2019 (в некотором порядке, не обязательно в указанном выше). Какое наибольшее число зелёных хамелеонов могло быть изначально? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада