Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур регионального этапа

Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три ее вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое ее звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Верно.
Решение. Назовём два звена, названных в условии, особыми. По условию с каждым особым звеном пересекаются все не соседние с ним не особые. Поэтому достаточно доказать, что, если особые рёбра (назовём их $p$ и $q$) не соседние, то они пересекаются. Если это не так, то одно из них (скажем, $p$) не пересекает прямую, содержащую другое (*). Пусть наша ломаная — это $A_1A_2 \ldots A_{1001},$ где $A_1A_2$ — ребро $q.$ Пусть ребро $p$ — это $A_kA_{k+1}.$ Поскольку рёбра $A_1A_{1001}$ и $A_2A_3$ — не особые, они пересекаются. Значит, точки $A_{1001}$ и $A_3$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $A_1A_2.$ Далее, каждое ребро $A_iA_{i+1},$ где $i \ne k$ и $3 \le i \le 999,$ пересекает $A_1A_2,$ то есть точки $A_i$ и $A_{i+1}$ лежат в разных полуплоскостях относительно $A_1A_2.$ Поскольку точки $A_3$ и $A_{1001}$ лежат в одной полуплоскости (и число 1001 нечётно), отсюда следует, что все точки $A_i$ с нечётными $i$ лежат в той же полуплоскости, а с чётными $i$ — в другой. Но тогда точки $A_k$ и $A_{k+1}$ лежат в разных полуплоскостях относительно $A_1A_2,$ что противоречит нашему предположению (*).