Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Тұйықталған сынық сызық 1001 буыннан тұрады және оның ешқандай үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды. Егер бір буын өзіне көрші емес қалған 998 буынның әрқайсысымен қиылысса, сол буынды әдемі деп атайық. 1001 буынның 999-ы әдемі екені белгілі. «Қалған екі буынның әрқайсысы да әдемі» деген тұжырым дұрыс па? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Верно.
Решение. Назовём два звена, названных в условии, особыми. По условию с каждым особым звеном пересекаются все не соседние с ним не особые. Поэтому достаточно доказать, что, если особые рёбра (назовём их $p$ и $q$) не соседние, то они пересекаются. Если это не так, то одно из них (скажем, $p$) не пересекает прямую, содержащую другое (*). Пусть наша ломаная — это $A_1A_2 \ldots A_{1001},$ где $A_1A_2$ — ребро $q.$ Пусть ребро $p$ — это $A_kA_{k+1}.$ Поскольку рёбра $A_1A_{1001}$ и $A_2A_3$ — не особые, они пересекаются. Значит, точки $A_{1001}$ и $A_3$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $A_1A_2.$ Далее, каждое ребро $A_iA_{i+1},$ где $i \ne k$ и $3 \le i \le 999,$ пересекает $A_1A_2,$ то есть точки $A_i$ и $A_{i+1}$ лежат в разных полуплоскостях относительно $A_1A_2.$ Поскольку точки $A_3$ и $A_{1001}$ лежат в одной полуплоскости (и число 1001 нечётно), отсюда следует, что все точки $A_i$ с нечётными $i$ лежат в той же полуплоскости, а с чётными $i$ — в другой. Но тогда точки $A_k$ и $A_{k+1}$ лежат в разных полуплоскостях относительно $A_1A_2,$ что противоречит нашему предположению (*).