Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур регионального этапа
Задача №1. Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа 22…22 (20 двоек) несколькими такими операциями получить число 22…22 (21 двойка)?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Каждый из 10 человек — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них задумал какое-то натуральное число. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй сказал: «Мое число больше 2», …, десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого они же, выступая в другом порядке, сказали (каждый по одной фразе): «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», …, «Мое число меньше 10». Какое наибольшее число рыцарей могло быть среди этих 10 человек?
(
О. Подлипский
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков?
(
Н. Агаханов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки?
(
Р. Женодаров,
О. Дмитриев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Периметр треугольника ABC равен 2. На стороне AC отмечена точка P, а на отрезке CP — точка Q так, что 2AP=AB и 2QC=BC. Докажите, что периметр треугольника BPQ больше 1.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)