Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур регионального этапа

Есеп №1. Операция удвоения цифры натурального числа состоит в умножении этой цифры на 2 (если это произведение оказывается двузначным, то цифра в следующем разряде числа увеличивается на 1, как при сложении «в столбик»). Например, из числа 9817 удвоениями цифр 7, 1, 8 и 9 можно получить числа 9824, 9827, 10617 и 18817 соответственно. Можно ли из числа $22 \ldots 22$ (20 двоек) несколькими такими операциями получить число $22 \ldots 22$ (21 двойка)? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Каждый из 10 человек — либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них задумал какое-то натуральное число. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй сказал: «Мое число больше 2», $\ldots,$ десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого они же, выступая в другом порядке, сказали (каждый по одной фразе): «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», \ldots , «Мое число меньше 10». Какое наибольшее число рыцарей могло быть среди этих 10 человек? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. По кругу расставлены 100 натуральных чисел. Каждое из них разделили с остатком на следующее по часовой стрелке. Могло ли получиться 100 одинаковых ненулевых остатков? ( Н. Агаханов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Периметр треугольника $ABC$ равен 2. На стороне $AC$ отмечена точка $P,$ а на отрезке $CP$ — точка $Q$ так, что $2AP = AB$ и $2QC = BC.$ Докажите, что периметр треугольника $BPQ$ больше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)