Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем M — середина гипотенузы, а значит, AM=MD=BM. Поэтому M лежит на серединном перпендикуляре к BD. С другой стороны, поскольку BC=CD, точка C также лежит на серединном перпендикуляре к BD. Получаем, что MC⊥BD. Далее, поскольку AD∥BC и CF⊥BC, получаем, что CF⊥AD. Итак, CF и DF — высоты треугольника CMD. Значит, MF — также высота, что и означает, что MF⊥CD.
Замечание.Можно показать, что четырёхугольник BCDM является ромбом.
Проведем BD, После получим что BD=AM=MD,Докажем что F находится ближе к D чем к B . Допустим если оно ближе к B или хотя бы BF=FD.То если угол MDB=g,то угол DBM=g, по параллельности угол DBC=g так как BC=CD, угол CDB=g,заметим что четырехугольник kite( фигура в виде воздушного змея) тогда пересечение BD и CM образует 90 градусов . Возьмем точку их пересечения как K тогда угол KFC=90+g . Угол CKB=90 противоречие сумма углов в треугольнике больше 180. Теперь с помощью свойств kite и того что угол MBC=MDC получаем что BCDM ромб.продолжим MF до пересечения с CD и получим что угол CMF равен g .Значит угол FMD=90-2g так как угол D равен 2g . Получаем то ч.т.д.
CM∩BD=N ∠CDB=∠CBD=∠BDM=∠DBM=α⇔◻CBMD⠀rhombus;⠀⠀∠CFB=90−α ⇔∠BNM=90∘⇔∠CFB=∠BCM=∠BMC=90−α⇔◻CBMF вписанный ⇔∠CMF=∠CBF=α⇔∠DMF=90−2α;⠀∠CDM=2α⇔MF⊥CD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.