Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


ABCD трапециясында M нүктесі — AD табанының ортасы. ABD=90 және BC=CD екені белгілі. BD кесіндісінен BCF=90 болатындай F нүктесі алынған. MFCD екенін дәлелдеңіз. ( Н. Чернега )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем M — середина гипотенузы, а значит, AM=MD=BM. Поэтому M лежит на серединном перпендикуляре к BD. С другой стороны, поскольку BC=CD, точка C также лежит на серединном перпендикуляре к BD. Получаем, что MCBD. Далее, поскольку ADBC и CFBC, получаем, что CFAD. Итак, CF и DF — высоты треугольника CMD. Значит, MF — также высота, что и означает, что MFCD.
Замечание.Можно показать, что четырёхугольник BCDM является ромбом.

  3
2 года 6 месяца назад #

Проведем BD, После получим что BD=AM=MD,Докажем что F находится ближе к D чем к B . Допустим если оно ближе к B или хотя бы BF=FD.То если угол MDB=g,то угол DBM=g, по параллельности угол DBC=g так как BC=CD, угол CDB=g,заметим что четырехугольник kite( фигура в виде воздушного змея) тогда пересечение BD и CM образует 90 градусов . Возьмем точку их пересечения как K тогда угол KFC=90+g . Угол CKB=90 противоречие сумма углов в треугольнике больше 180. Теперь с помощью свойств kite и того что угол MBC=MDC получаем что BCDM ромб.продолжим MF до пересечения с CD и получим что угол CMF равен g .Значит угол FMD=90-2g так как угол D равен 2g . Получаем то ч.т.д.

  3
2 месяца 15 дней назад #

CMBD=N CDB=CBD=BDM=DBM=αCBMDrhombus;CFB=90α BNM=90CFB=BCM=BMC=90αCBMF вписанный CMF=CBF=αDMF=902α;CDM=2αMFCD