Processing math: 100%

Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры


1, 2, , 1000 сандарын 500 саннан екі жиынға бөлді: қызыл k1, k2, , k500 және көк s1, s2, , s500. kmsn айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей m мен n жұптары және snkm айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей m мен n жұптары тең екенін дәлелдеңіз. Мына есепте мүмкін бүкіл айырмалар қарастырылады, сонымен қатар теріс айырмалар.
   Бүтін a санының 100-ге бөлгендегі қалдығы деп a және a-дан үлкен емес ең үлкен 100-ге бөлінетін санды атайды. Мысалы, 2022-ні 100-ге бөлгендегі қалдығы 20222000=22, 11-ді 100-ге бөлгендегі қалдығы 11(100)=89. ( Е. Бакаев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Выпишем на доске все числа от 1 до 1000, и будем проводить стрелку от числа a к числу b, если разность ab дает остаток 7 при делении на 100. Тогда в каждое число будет входить 10 стрелок и из каждого числа будет выходить 10 стрелок. Значит, стрелок с синим началом столько же, сколько стрелок с синим концом. Удалим все стрелки, у которых как начало, так и конец синие. Тогда получится, что стрелок с синим началом и красным концом столько же, сколько стрелок с красным началом и синим концом, что и требовалось доказать.