Эйлер атындағы олимпиада, 2021-2022 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

1, 2, $\ldots$, 1000 сандарын 500 саннан екі жиынға бөлді: қызыл $k_1,$ $k_2,$ $\ldots$, $k_{500}$ және көк $s_1,$ $s_2,$ $\ldots$, $s_{500}.$ $k_m-s_n$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей $m$ мен $n$ жұптары және $s_n-k_m$ айырмасы 100-ге бөлгенде 7 қалдық беретіндей $m$ мен $n$ жұптары тең екенін дәлелдеңіз. Мына есепте мүмкін бүкіл айырмалар қарастырылады, сонымен қатар теріс айырмалар.
   Бүтін a санының 100-ге бөлгендегі қалдығы деп a және a-дан үлкен емес ең үлкен 100-ге бөлінетін санды атайды. Мысалы, 2022-ні 100-ге бөлгендегі қалдығы $2022-2000 = 22$, $-11$-ді 100-ге бөлгендегі қалдығы $-11-(-100) = 89$. ( Е. Бакаев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Выпишем на доске все числа от 1 до 1000, и будем проводить стрелку от числа $a$ к числу $b$, если разность $a-b$ дает остаток 7 при делении на 100. Тогда в каждое число будет входить 10 стрелок и из каждого числа будет выходить 10 стрелок. Значит, стрелок с синим началом столько же, сколько стрелок с синим концом. Удалим все стрелки, у которых как начало, так и конец синие. Тогда получится, что стрелок с синим началом и красным концом столько же, сколько стрелок с красным началом и синим концом, что и требовалось доказать.