Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур регионального этапа

Числа 1, 2, $\ldots,$ 1000 разбили на два множества по 500 чисел: красные $k_1,$ $k_2,$ $\ldots,$ $k_{500}$ и синие $s_1,$ $s_2,$ $\ldots,$ $s_{500}.$ Докажите, что количество таких пар $m$ и $n$, у которых разность $k_m-s_n$ дает остаток 7 при делении на 100, равно количеству таких пар $m$ и $n$, у которых разность $s_n-k_m$ дает остаток 7 при делении на 100. Здесь рассматриваются все возможные разности, в том числе и отрицательные.
   Напомним, что остатком от деления целого числа $a$ на 100 называется разность между числом $a$ и ближайшим числом, не большим $a$ и делящимся на 100. Например, остаток от деления числа 2022 на 100 равен $2022-2000 = 22$, а остаток от деления числа $-11$ на 100 равен $-11-(-100) = 89.$ ( Е. Бакаев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Выпишем на доске все числа от 1 до 1000, и будем проводить стрелку от числа $a$ к числу $b$, если разность $a-b$ дает остаток 7 при делении на 100. Тогда в каждое число будет входить 10 стрелок и из каждого числа будет выходить 10 стрелок. Значит, стрелок с синим началом столько же, сколько стрелок с синим концом. Удалим все стрелки, у которых как начало, так и конец синие. Тогда получится, что стрелок с синим началом и красным концом столько же, сколько стрелок с красным началом и синим концом, что и требовалось доказать.