Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2015-2016 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

$1000 \times 2016$ тіктөртбұрышын $1 \times 2015$ тіктөртбұрыштарына және үш шаршыдан құралған бұрыштарға, осы фигуралардың екі түрі де кездесетіндей бөлуге болады ма? ( Е. Бакаев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нельзя. Решение. Допустим, можно. Очевидно, каждый из прямоугольников $1 \times 2015$ примыкает к одной из коротких сторон прямоугольника $1000 \times 2016$, а от другой стороны отстоит на одну клетку. Назовём прямоугольник $1 \times 2015$ $\textit{чёрным}$ (соответственно, $\textit{белым}$), если эта клетка покрыта уголком, две другие клетки которого находятся выше (соответственно, ниже) этого прямоугольника.
       Самый нижний из прямоугольников $1 \times 2015$ должен быть чёрным: иначе ниже него расположен прямоугольник $2016 \times k$, количество клеток которого делится на 3 и который должен быть полностью замощён трёхклеточными уголками и «доминошкой» из двух клеток, что невозможно. По той же причине самый верхний из прямоугольников $1 \times 2015$ должен быть белым. Но тогда среди прямоугольников $1 \times 2015$ найдутся чёрный и белый, лежащий выше этого чёрного, между которыми нет других таких прямоугольников. Лежащий между ними прямоугольник $2016 \times k$ должен быть полностью замощён трёхклеточными уголками и двумя «доминошками» из двух клеток, что невозможно.