Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2015-2016 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. $1000 \times 2016$ тіктөртбұрышын $1 \times 2015$ тіктөртбұрыштарына және үш шаршыдан құралған бұрыштарға, осы фигуралардың екі түрі де кездесетіндей бөлуге болады ма? ( Е. Бакаев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Мектепте $30$ үйірме бар, және әр үйірмеге $40$ бала қатысады. Әр $i=1, 2, \ldots, 30$ үшін $n_i$ арқылы дәл $i$ үйірмеге қатысатын балалар санын белгілейік. Жаңа үйірмелер үшін $n_i$ сандары сол қалпы қалатындай, осы мектепте әр үйірмеге $30$ бала қатысатындай жаңадан $40$ үйірме ұйымдастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( В. Дольников )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теріс емес $a$, $b$, $c$ және $d$ сандарының қосындысы $4$-ке тең. $(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \leq 8$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. ( А. Храбров )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №4. $ABCD$ параллелограмы берілген. $AB$ және $BC$ қабырғаларынан және $CD$ қабырғасының $D$-дан ары қарай созындысынан сәйкесінше $K$, $L$ және $M$ нүктелері $\triangle KLM=\triangle BCA$ (міндетті түрде осындай сәйкес төбелермен) болатындай алынған. $KM$ кесіндісі $AD$ кесіндісін $N$ нүктесінде қисын. $LN \parallel AB$ екенін дәлелдеңіз. ( Б. Обухов )
комментарий/решение(2)

---