Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2004 год

Задача №1. Существуют ли такая последовательность действительных чисел

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$a_3$ ,

$\dots$ и такой непостоянный многочлен

$P(x)$ , что

$a_m+a_n=P(mn)$ для любых натуральных

$m$ и

$n$ ? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. На плоскости провели 100 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и

$k$ отмеченных точек стерли. При каком наибольшем

$k$ по оставшимся точкам пересечения заведомо можно восстановить исходные прямые? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №3. В окружность с центром

$O$ и радиусом 1 вписан остроугольный треугольник

$ABC$ , все углы которого больше

$45^\circ$ . Из точки

$B$ опущен перпендикуляр

$BB_1$ на прямую

$CO$ , а из точки

$B_1$ опущен перпендикуляр

$B_1B_2$ на прямую

$AC$ . Точно так же из точки

$C$ опущен перпендикуляр

$CC_1$ на прямую

$BO$ , а из точки

$C_1$ опущен перпендикуляр

$C_1C_2$ на прямую

$AB$ . Прямые

$B_1B_2$ и

$C_1C_2$ пересекаются в точке

$A_3$ . Аналогично определяются точки

$B_3$ и

$C_3$ . Найдите радиус описанной окружности треугольника

$A_3B_3C_3$ . ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение

Задача №4. В городе N. существует множество оппозиционных обществ, каждое из которых состоит из 10 членов. Известно, что для любых 2004 обществ найдется человек, состоящий хотя бы в 11 из них. Докажите, что правительство может арестовать 2003 человека так, чтобы в каждом обществе хотя бы один член был арестован. ( Д. Карпов, В. Дольников )
комментарий/решение

Задача №5. 50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение

Задача №6. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается сторон

$AB$ и

$BC$ в точках

$P$ и

$Q$ . Прямая

$PQ$ пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точках

$X$ и

$Y$ . Найдите

$\angle XBY$ , если

$\angle ABC = 90^\circ$ . ( А. Смирнов )
комментарий/решение(2)

Задача №7. В клетках доски

$n \times n$ расставлены нули и единицы. Во всех клетках левого столбца стоят единицы, и в каждой фигурке вида

(состоящей из клетки и ее соседей слева и снизу) сумма чисел четна. Докажите, что в таблице нет двух одинаковых строк. ( О. Ванюшина )
комментарий/решение

Задача №8. О натуральных числах

$m$ и

$n$ известно, что

$m > n^{n-1}$ и все числа

$m+1$ ,

$m+2$ ,

$\dots$ ,

$m+n$ — составные. Докажите, что существуют такие различные простые числа

$p_1$ ,

$p_2$ ,

$\dots$ ,

$p_n$ , что

$m+k$ делится на

$p_k$ при

$k = 1$ , 2,

$\dots$ ,

$n$ . ( C.A.Grimm )
комментарий/решение