Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2004 год


Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и BC в точках P и Q. Прямая PQ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках X и Y. Найдите XBY, если ABC=90. ( А. Смирнов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 2 месяца назад #

AXY0:AY0X+AXY0+B0AY0+BAX+BAB0=180o

AXY0=AB0Y0BAX=B0AY0BAX+B0AY0=450

XAY0=XBY=135o

  2
1 года 9 месяца назад #

Iинцентр.

AXC=AYC=90. по известной лемме (255): проекция A на биссектрису угла C лежит также на прямой PQ, проекция C на биссектрису угла A тоже лежит на PQ. Тогда X,Y середины дуг (меньших) AB,BD соответственно. Поэтому по лемме о трезубце: XBY=XIY=AIC=135.