Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2004 жыл

Есеп №1. Кез-келген натурал

$m$ және

$n$ үшін

${{a}_{m}}+{{a}_{n}}=P(mn)$ орындалатындай,

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

${{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ нақты сандар тізбегі және тұрақсыз

$P(x)$ көпмүшесі табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Жазықтықта, ешқандай екі түзу параллель болмайтындай және ешқандай үш түзу бір нүктеде қиылыспайтындай 100 түзу жүргізілді және барлық қиылысу нүктелері белгіленді. Кейін, барлық түзулерді және

$k$ белгіленген нүктелерін өшіріп тастады.

$k$ -ның қандай ең үлкен мәнінде қалған белгіленген нүктелер бойынша алғашқы түзулерді қайтадан салуға болады? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №3. Центрі

$O$ нүктесі және радиусы 1 болатын шеңберге, барлық бұрыштары

$45{}^\circ$ -градустан үлкен сүйірбұрышты үшбұрыш іштей сызылды.

$B$ нүктесінен

$CO$ түзуіне

$B{{B}_{1}}$ перпендикуляры, ал

${{B}_{1}}$ нүктесінен

$AC$ түзуіне

${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. Дәл осылай,

$C$ нүктесінен

$BO$ түзуіне

$C{{C}_{1}}$ перпендикуляры, ал

${{C}_{1}}$ нүктесінен

$AB$ түзуіне

${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді.

${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ және

${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ түзулері

${{A}_{3}}$ нүктесінде қиылысады. Дәл осылай

${{B}_{3}}$ және

${{C}_{3}}$ нүктелері анықталады.

${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение

Есеп №4.

$N$ қаласында, әрқайсысы 10 адамнан тұратын көптеген оппозициялық қоғам бар. Кез-келген 2004 қоғам үшін, кем дегенде олардың 11-іне мүше адам табылады. Үкімет, әрбір қоғамда кем-дегенде бір адам тұтқындалатындай, 2003 адамды тұтқындай алатынын дәлелдеңіз. ( Д. Карпов, В. Дольников )
комментарий/решение

Есеп №5. Дөңгелек үстелде, Артур патшаның 50 серісі отырды. Әрқайсысының алдында ақ немесе қызыл түсті вино құйылған бокал тұрды. Үстелде кем-дегенде бір қызыл түсті және ақ түсті вино құйылған бокал тұрғаны белгілі. Патша екі рет алақанымен қол соқты. Бірінші қол соғудан кейін, алдында қызыл түсті виносы бар сері сол жағындағы көршісінің бокалын өзіне алды, ал екінші қол соғудан кейін, алдында ақ виносы бар сері (басқа да нәрсе болуы мүмкін), осы бокалды сол жағындағы көршісінің сол жағындағы көршісіне берді. Серілердің біреуі виносыз қалғанын дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение

Есеп №6.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер,

$AB$ және

$BC$ қабырғаларымен

$P$ және

$Q$ нүктелерінде жанасады.

$PQ$ түзуі,

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды. Егер

$\angle ABC=90{}^\circ$ болса,

$\angle XBY$ бұрышын табыңыз. ( А. Смирнов )
комментарий/решение(2)

Есеп №7.

$n\times n$ тақтасының торларына нөлдер және бірлер орналастырылды. Сол жақтағы бағандағы торларда тек бірліктер орналастырылды және әрбір (бір тордан және оның көршілес астындағы немесе сол жағындағы тұратын) фигурада барлық сандардың қосындысы жұп сан. Кестеде екі, бірдей жол жоқ екенін дәлелдеңіз.

( О. Ванюшина )
комментарий/решение

Есеп №8. Натурал

$m$ және

$n$ сандары үшін,

$m > {{n}^{n-1}}$ және

$m+1$ ,

$m+2$ ,

$\ldots$ ,

$m+n$ құрмалас сандар екені белгілі.

$k=1,2,\ldots,n$ үшін,

$m+k$

${{p}_{k}}$ -ға бөлінетіндей,

${{p}_{1}}$ ,

${{p}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{p}_{n}}$ жай сандар бар екенін дәлелдеңіз. ( C.A.Grimm )
комментарий/решение