Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2009 год
Задача №1. Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух
из них равна 12. Докажите, что эти числа иррациональны.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных
бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих
бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных
бусин может быть в ожерелье?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На стороне AB вписанного четырехугольника ABCD нашлась такая точка
X, что отрезок CX делится пополам диагональю BD, а отрезок DX
делится пополам диагональю AC. Какое наименьшее значение может принимать
величина ABCD?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Существует ли такое натуральное n, что среди двухсотых цифр после запятой
в десятичных записях чисел √n, √n+1, √n+2, …,
√n+999 сто раз встречается 0, сто раз — единица, …, сто раз
— девятка?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем
назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и
¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное
число. Не обманывает ли он?
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Расстановку фишек в клетках квадрата n×n назовем редкой, если в любом квадрате 2×2 стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в
некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая
расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на
любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть
редкой. При каких n это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан треугольник ABC. Точка B1 симметрична вершине B
относительно прямой AC, точка C1 симметрична вершине C
относительно прямой AB. Точка O1 симметрична центру описанной
окружности треугольника ABC относительно прямой BC. Докажите, что
центр описанной окружности треугольника AB1C1 лежит на прямой AO1.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Найдите наибольшее число h, удовлетворяющее следующему условию:
для любого числа a∈[0,h] и любого многочлена P(x) степени 99,
такого, что P(0)=P(1)=0, найдутся такие x1,x2∈[0,1], что
P(x1)=P(x2) и x2−x1=a.
(
А. Храбров,
Д. Ростовский,
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение