Processing math: 100%

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2009 год


Задача №1.  Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух из них равна 12. Докажите, что эти числа иррациональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №2.  Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных бусин может быть в ожерелье? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №3.  На стороне AB вписанного четырехугольника ABCD нашлась такая точка X, что отрезок CX делится пополам диагональю BD, а отрезок DX делится пополам диагональю AC. Какое наименьшее значение может принимать величина ABCD? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №4.  Существует ли такое натуральное n, что среди двухсотых цифр после запятой в десятичных записях чисел n, n+1, n+2, , n+999 сто раз встречается 0, сто раз — единица, , сто раз — девятка? ( А. Голованов )
комментарий/решение
Задача №5.  Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и ¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение
Задача №6.  Расстановку фишек в клетках квадрата n×n назовем редкой, если в любом квадрате 2×2 стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть редкой. При каких n это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №7.  Дан треугольник ABC. Точка B1 симметрична вершине B относительно прямой AC, точка C1 симметрична вершине C относительно прямой AB. Точка O1 симметрична центру описанной окружности треугольника ABC относительно прямой BC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника AB1C1 лежит на прямой AO1. ( А. Акопян )
комментарий/решение
Задача №8.  Найдите наибольшее число h, удовлетворяющее следующему условию: для любого числа a[0,h] и любого многочлена P(x) степени 99, такого, что P(0)=P(1)=0, найдутся такие x1,x2[0,1], что P(x1)=P(x2) и x2x1=a. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение