Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2009 год

Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух из них равна $1\over 2$. Докажите, что эти числа иррациональны. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть даны числа x,y,z

Допустим, что среди трех есть одно рациональное и иррациональное. Тогда их произведение будет иррационально, т.е. дробная часть произведения не равна 2.

Допустим, все три рациональны.

$$V_{2}(xy)= V_{2}(zy)= V_{2}(xz)=-1$$

$$V_{2}(xy)+V_{2}(zy)+ V_{2}(xz)=2(V_{2}(x)+ V_{2}(y)+ V_{2}(z))=-3$$

Но заметим, что степень вхождения 2ойки у х,у,z целая, т.е. и их сумма целая, но из равентсва мы получили что их сумма -1,5 противоречие.