қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2009 год
Задача №1. Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух
из них равна $1\over 2$. Докажите, что эти числа иррациональны.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных
бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих
бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных
бусин может быть в ожерелье?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. На стороне $AB$ вписанного четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка
$X$, что отрезок $CX$ делится пополам диагональю $BD$, а отрезок $DX$
делится пополам диагональю $AC$. Какое наименьшее значение может принимать
величина $AB\over CD$?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Существует ли такое натуральное $n$, что среди двухсотых цифр после запятой
в десятичных записях чисел $\sqrt{n}$, $\sqrt{n+1}$, $\sqrt{n+2}$, $\dots$,
$\sqrt{n+999}$ сто раз встречается 0, сто раз — единица, $\dots$, сто раз
— девятка?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число $\overline{abc}$, а затем
назвать ему сумму чисел $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ и
$\overline{cba}$. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное
число. Не обманывает ли он?
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Расстановку фишек в клетках квадрата $n\times n$ назовем редкой, если в любом квадрате $2\times 2$ стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в
некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая
расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на
любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть
редкой. При каких $n$ это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Дан треугольник $ABC$. Точка $B_1$ симметрична вершине $B$
относительно прямой $AC$, точка $C_1$ симметрична вершине $C$
относительно прямой $AB$. Точка $O_1$ симметрична центру описанной
окружности треугольника $ABC$ относительно прямой $BC$. Докажите, что
центр описанной окружности треугольника $AB_1C_1$ лежит на прямой $AO_1$.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Найдите наибольшее число $h$, удовлетворяющее следующему условию:
для любого числа $a\in [0,h]$ и любого многочлена $P(x)$ степени 99,
такого, что $P(0)=P(1)=0$, найдутся такие $x_1,x_2\in [0,1]$, что
$P(x_1)=P(x_2)$ и $x_2-x_1=a$.
(
А. Храбров,
Д. Ростовский,
Ф. Петров
)
комментарий/решение
комментарий/решение