из материалов олимпиад
Задача №1. Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и ¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2. На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число r на √r+1. Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE. Перпендикуляры на прямую AE, проходящие через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q. Докажите, что BP=PQ. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №5. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка H — его ортоцентр, точки O и I — центры его описанной и вписанной окружностей соответственно. Описанная окружность треугольника OIH проходит через вершину~A. Докажите, что один из углов треугольника равен 60∘. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. В однокруговом шахматном турнире участвуют по 10 игроков из двух стран. За победу дается одно очко, за ничью — пол-очка, за поражение — ноль. Все игроки набрали разное число очков. Докажите, что один из шахматистов набрал во встречах со своими соотечественниками не меньше очков, чем во встречах с игроками из другой страны. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7. На стороне AB треугольника ABC выбраны точки X и Y, на стороне AC — точка Z, и на стороне BC — точка T. При этом XZ∥BC, YT∥AC. Прямая TZ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках D и E. Докажите, что точки X, Y, D и E лежат на одной окружности. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8. Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны, CD>AB+BC. Докажите, что ∠ABC>120∘. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №9. Каждое из подмножеств A1, A2, …, An 2009-элементного множества X содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в X можно найти 24-элеметное подмножество B, не содержащее ни одного из множеств A1, A2, …, An. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада