Processing math: 100%

из материалов олимпиад


Задача №1.  Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и ¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число r на r+1. Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE. Перпендикуляры на прямую AE, проходящие через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q. Докажите, что BP=PQ. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №5.  Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC. Точка H — его ортоцентр, точки O и I — центры его описанной и вписанной окружностей соответственно. Описанная окружность треугольника OIH проходит через вершину~A. Докажите, что один из углов треугольника равен 60. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  В однокруговом шахматном турнире участвуют по 10 игроков из двух стран. За победу дается одно очко, за ничью — пол-очка, за поражение — ноль. Все игроки набрали разное число очков. Докажите, что один из шахматистов набрал во встречах со своими соотечественниками не меньше очков, чем во встречах с игроками из другой страны. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  На стороне AB треугольника ABC выбраны точки X и Y, на стороне AC — точка Z, и на стороне BC — точка T. При этом XZBC, YTAC. Прямая TZ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках D и E. Докажите, что точки X, Y, D и E лежат на одной окружности. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны, CD>AB+BC. Докажите, что ABC>120. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №9.  Каждое из подмножеств A1, A2, , An 2009-элементного множества X содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в X можно найти 24-элеметное подмножество B, не содержащее ни одного из множеств A1, A2, , An. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада