Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год


Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны, CD>AB+BC. Докажите, что ABC>120. ( из материалов олимпиад )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
2 года 2 месяца назад #

Без координат.

1)По условию AB=AD=L. Пусть BAD=2φ

2)Вычислим BD. Из равнобедренности ΔABD

BD=2ABsinφ=2Lsinφ

3)Вычислим радиус описанной окружности ΔABD

RΔABD=ABADBD4SΔABD=LL2Lsinφ4LcosφLsinφ=L2cosφ

4)Пусть ABC=y. По теореме синусов рассчитаем CD и BC

CDsin(y90+φ)=2RΔABD=LcosφCD=Lcos(φ+y)cosφ

BCsin(90+φy)=2RΔABD=LcosφBC=Lcos(φy)cosφ

5)По условию CD>AB+BC

Lcos(φ+y)cosφ>L+Lcos(φy)cosφ

6)Сократим все на L

cos(φ+y)+cos(φy)cosφ>12cosφcosycosφ>1

Здесь применили формулу "сумма косинусов". Сократим на cosφ0. Получаем

cosy<12ABC>120

  2
1 года 8 месяца назад #

Пусть ABC=120 и возьмем на окружности точку D такую что AD=AB пусть DCD такая что DAD=60 и AD=AD и EBC такая что EB=AB тогда EA=EB=AB=AD=DD=AD откуда CD=BC или CD=AB+BC=CE если CD>CE тогда A лежит внутри меньшей дуги AB то есть ABC>ABC=120