Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год
Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны,
CD>AB+BC. Докажите, что ∠ABC>120∘.
(
из материалов олимпиад
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Без координат.
1)По условию AB=AD=L. Пусть ∠BAD=2φ
2)Вычислим BD. Из равнобедренности ΔABD
BD=2AB⋅sinφ=2Lsinφ
3)Вычислим радиус описанной окружности ΔABD
RΔABD=AB⋅AD⋅BD4SΔABD=L⋅L⋅2Lsinφ4⋅Lcosφ⋅Lsinφ=L2cosφ
4)Пусть ∠ABC=y. По теореме синусов рассчитаем CD и BC
CDsin(y−90∘+φ)=2RΔABD=Lcosφ⇒CD=−L⋅cos(φ+y)cosφ
BCsin(90∘+φ−y)=2RΔABD=Lcosφ⇒BC=L⋅cos(φ−y)cosφ
5)По условию CD>AB+BC
−L⋅cos(φ+y)cosφ>L+L⋅cos(φ−y)cosφ
6)Сократим все на L
−cos(φ+y)+cos(φ−y)cosφ>1⇒−2cosφcosycosφ>1
Здесь применили формулу "сумма косинусов". Сократим на cosφ≠0. Получаем
cosy<−12⇒∠ABC>120∘
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.