Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год


Задача №1.  Все клетки доски 20×20 пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша) ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  P(x) — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных сумме двух предыдущих, может быть в последовательности P(1), P(2), P(3), ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны, CD>AB+BC. Докажите, что ABC>120. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Каждое из подмножеств A1, A2, , An 2009-элементного множества X содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в X можно найти 24-элеметное подмножество B, не содержащее ни одного из множеств A1, A2, , An. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и ¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( Фольклор )
комментарий/решение(2)
Задача №6.  Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Прямая PM пересекает прямую CD в точке Q, причем C лежит между Q и D. Перпендикуляр к основаниям, проведенный через точку P, пересекает прямую BQ в точке K. Докажите, что QBC=KDA. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)
Задача №7.  Расстановку фишек в клетках квадрата n×n назовем редкой, если в любом квадрате 2×2 стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть редкой. При каких n это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №8.  Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых не меньше 50. ( А. Храбров )
комментарий/решение