Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год
Задача №1. Все клетки доски 20×20 пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша)
ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого
на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух
столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. P(x) — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных
сумме двух предыдущих, может быть в последовательности P(1),
P(2), P(3), …?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Во вписанном четырехугольнике ABCD стороны AB и AD равны,
CD>AB+BC. Докажите, что ∠ABC>120∘.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Каждое из подмножеств A1, A2, …, An 2009-элементного множества
X содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих
подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в X можно найти
24-элеметное подмножество B, не содержащее ни одного из множеств
A1, A2, …, An.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число ¯abc, а затем
назвать ему сумму чисел ¯acb, ¯bac, ¯bca, ¯cab и
¯cba. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное
число. Не обманывает ли он?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании
AD выбрана точка P. Прямая PM пересекает прямую CD в точке
Q, причем C лежит между Q и D. Перпендикуляр к основаниям,
проведенный через точку P, пересекает прямую BQ в точке K. Докажите,
что ∠QBC=∠KDA.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №7. Расстановку фишек в клетках квадрата n×n назовем редкой, если в
любом квадрате 2×2 стоит не более 3 фишек. Сергей поставил в
некоторые клетки доски по одной фишке так, что получилась редкая
расстановка. Он заметил, однако, что если переставить любую фишку на
любую свободную клетку, то перестановка перестанет быть
редкой. При каких n это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Сумма нескольких неотрицательных чисел не больше 200, а сумма их квадратов
не меньше 2500. Докажите, что среди них есть четыре числа, сумма которых
не меньше 50.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение