Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год


Точка M — середина основания BC трапеции ABCD. На основании AD выбрана точка P. Прямая PM пересекает прямую CD в точке Q, причем C лежит между Q и D. Перпендикуляр к основаниям, проведенный через точку P, пересекает прямую BQ в точке K. Докажите, что QBC=KDA. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 6 месяца назад #

1) Введем систему координат . Пусть точка O проекция точки M на AD. Примем точку O за начало координат . Назначим вершинам трапеции следующие координаты:

A(a;0);B(c;h);C(c;h);M(0;h);D(d;0);P(xp;0)

Здесь учтено, что M середина BC

2) Q=CDPM

Уравнение прямой PM через нормаль

PM=(xp;h)nPM=(h;xp)

hx+xpy+constPM=0

M(0;h)h0+xph+constPM=0constPM=xph

PM:hx+xpyxph=0

3) Уравнение прямой CD через нормаль

CD=(dc;h)nCD=(h;dc)

hx+(dc)y+constCD=0

D(d;0)hd+(dc)0+constCD=0constCD=hd

CD:hx+(dc)yhd=0

4) Решая систему уравнений сложением, получаем

yQ=hxp+dxp+dc

Полученное значение yQ подставим в уравнение прямой PM

xQ=xpyxphh=xphxp+dxp+dcxphh=xp(xp+dxp+dc1)

Упростив получаем

xQ=xpcxp+dc

5) По условию xK=xp, остается найти yK

Уравнение BQ через нормаль

BQ=(xpcxp+dc+c;hxp+dxp+dch)

BQ=(cxp+dc(2xp+dc);cxp+dch)

nBQ=(h;2xp+dc)

hx+(2xp+dc)y+constBQ=0

B(c;h)h(c)+(2xp+dc)h+constBQ=0constBQ=h(2xp+d)

BQ:hx+(2xp+dc)yh(2xp+d)=0

yK=h(3xp+d)2xp+dc

6) Сравним cosKDA и cosQBC . В случае тождественного равенства можно прийти к выводу, что KDA=QBC

cosKDA=DKDA|DK||DA|

cosQBC=BQBC|BQ||BC|

DK=(xpd;h(3xp+d)2xp+dc)

DA=(ad;0)

BQ=(cxp+dc(2xp+dc);cxp+dch)

BC=(2c;0)

DKDA=(xpd)(ad)=ad+d2axpdxp

BQBC=2c2xp+dc(2xp+dc)

DKDA=(xpd)2+(h(3xp+d)2xp+dc)2×(a+d)

BQBC=2c(cxp+dc(2xp+dc))2+(cxp+dch)2

Остается показать, что

ad+d2axpdxp(xpd)2+(h(3xp+d)2xp+dc)2×(a+d)=2c2xp+dc(2xp+dc)2c(cxp+dc(2xp+dc))2+(cxp+dch)2

пред. Правка 2   3
3 года 6 месяца назад #

Пусть EBQAD тогда P является серединой DE по замечательному свойству трапеции, тогда по условию EKD равнобедренный треугольник, так как KP серединный перпендикуляр, то есть QBC=QED=KDA

  1
3 года 6 месяца назад #

Замечательное решение! Две строчки, и тем не менее все понятно!