Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год
Комментарий/решение:
1) Введем систему координат . Пусть точка O− проекция точки M на AD. Примем точку O за начало координат . Назначим вершинам трапеции следующие координаты:
A(−a;0);B(−c;h);C(c;h);M(0;h);D(d;0);P(−xp;0)
Здесь учтено, что M− середина BC
2) Q=CD∩PM
Уравнение прямой PM через нормаль
→PM=(xp;h)⇒→nPM=(−h;xp)
−h⋅x+xp⋅y+constPM=0
M(0;h)⇒−h⋅0+xp⋅h+constPM=0⇒constPM=−xp⋅h
PM:−h⋅x+xp⋅y−xp⋅h=0
3) Уравнение прямой CD через нормаль
→CD=(d−c;−h)⇒→nCD=(h;d−c)
h⋅x+(d−c)⋅y+constCD=0
D(d;0)⇒h⋅d+(d−c)⋅0+constCD=0⇒constCD=−h⋅d
CD:h⋅x+(d−c)⋅y−h⋅d=0
4) Решая систему уравнений сложением, получаем
yQ=h⋅xp+dxp+d−c
Полученное значение yQ подставим в уравнение прямой PM
xQ=xp⋅y−xp⋅hh=xp⋅h⋅xp+dxp+d−c−xp⋅hh=xp⋅(xp+dxp+d−c−1)
Упростив получаем
xQ=xp⋅cxp+d−c
5) По условию xK=xp, остается найти yK
Уравнение BQ через нормаль
→BQ=(xp⋅cxp+d−c+c;h⋅xp+dxp+d−c−h)
→BQ=(cxp+d−c⋅(2xp+d−c);cxp+d−c⋅h)
⇒→nBQ=(−h;2xp+d−c)
−h⋅x+(2xp+d−c)⋅y+constBQ=0
B(−c;h)⇒−h⋅(−c)+(2xp+d−c)⋅h+constBQ=0⇒constBQ=−h⋅(2xp+d)
BQ:−h⋅x+(2xp+d−c)⋅y−h⋅(2xp+d)=0
yK=h⋅(3xp+d)2xp+d−c
6) Сравним cos∠KDA и cos∠QBC . В случае тождественного равенства можно прийти к выводу, что ∠KDA=∠QBC
cos∠KDA=→DK⋅→DA|DK|⋅|DA|
cos∠QBC=→BQ⋅→BC|BQ|⋅|BC|
→DK=(xp−d;h⋅(3xp+d)2xp+d−c)
→DA=(−a−d;0)
→BQ=(cxp+d−c⋅(2xp+d−c);cxp+d−c⋅h)
→BC=(2c;0)
→DK⋅→DA=(xp−d)⋅(−a−d)=ad+d2−axp−dxp
→BQ⋅→BC=2c2xp+d−c⋅(2xp+d−c)
DK⋅DA=√(xp−d)2+(h⋅(3xp+d)2xp+d−c)2×(a+d)
BQ⋅BC=2c⋅√(cxp+d−c⋅(2xp+d−c))2+(cxp+d−c⋅h)2
Остается показать, что
ad+d2−axp−dxp√(xp−d)2+(h⋅(3xp+d)2xp+d−c)2×(a+d)=2c2xp+d−c⋅(2xp+d−c)2c⋅√(cxp+d−c⋅(2xp+d−c))2+(cxp+d−c⋅h)2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.