қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2009 жыл
Есеп №1. $20\times 20$ тақтасының барлық торлары бос. Миша мен Саша кезектесіп бос торларға бір фишканы қояды (Миша бастайды). Қай ойыншының жүрісінен кейін, төрт фишка, екі баған мен екі жолдын қиылысуында тұрса, сол ойыншы жеңеді. Әділ ойында кім жеңеді?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $P\left( x \right)$ — квадрат үшмүше. $P\left( 1 \right)$, $P\left( 2 \right)$, $P\left( 3 \right)$, $\ldots$ тізбегінде, алдыңғы екі үшмүшенің қосындысына тең, қанша ең көп дегенде квадрат үшмүше болуы мүмкін?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABCD$ іштей сызылған төртбұрышында, $AB$ және $AD$ қабырғалары тең және $CD > AB+BC$. $\angle ABC > 120{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. 2009 элементтен тұратын $X$ жиынының ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{n}}$ ішкі жиындары кем-дегенле төрт мүшеден тұрады. Кез-келген екі ішкі жиынның қиылысуында ең көп дегенде 2 элемент бар. $X$ жиынында, ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{n}}$ жиындарының ешқайсысын қамтымайтын, 24 элементтен тұратын $B$ жиыны бар екенін дәлелдеңіз.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Сиқыршы көрерменнен үштаңбалы $\overline{abc}$ санын ойлауын және $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$, $\overline{cba}$ сандарының қосындысын айтуын сұрады. Ол осы қосынды арқылы, ойлаған санды таба алатынын айтты. Сиқыршы өтірік айтуы мүмкін бе?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $M$ нүктесі, $ABCD$ трапециясының $BC$ табанының ортасы. $AD$ табанында $P$ нүктесі алынды. $P$ нүктесі $Q$ және $D$ нүктелерінің арасында жататындай, $PM$ түзуі $CD$ түзуін $Q$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі арқылы өтетін, трапеция табандарына жүргізілген перпендикуляр, $BQ$ түзуін $K$ нүктесінде қияды. $\angle QBC=\angle KDA$ екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №7. Егер $2\times 2$ шаршысында 3 фишкадан артық фишка тұрмаса, $n\times n$ шаршысының торларындағы фишкалардың орналасуын сирек деп атайық. Фишкалардың сирек орналасуы қалыптасатындай, Сергей тақтаның кейбір торларына бір фишкадан қойды. Алайда, ол, егер кез-келген фишканы бос торға алмастырса, барлық фишкалардың орналасуы сирек болмай кететінін байқады. $n$-нің қандай мәнінде бұл мүмкін?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Бірнеше теріс емес сандардың қосындысы 200-ден көп емес, ал осы сандардың квадраттарының қосындысы 2500-ден кем емес болсын. Осы сандардың арасында, қосындысы 50-ден кем емес төрт сан бар екенін дәлелдеңіз.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение
комментарий/решение