из материалов олимпиад


Задача №1.  Фокусник просит зрителя задумать трехзначное число $\overline{abc}$, а затем назвать ему сумму чисел $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ и $\overline{cba}$. Он утверждает, что узнав эту сумму, сможет назвать исходное число. Не обманывает ли он? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2.  На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число $r$ на $\sqrt{r+1}$. Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  Билет на трамвай стоит 1 тугрик. У 20 пассажиров имеются лишь монеты достоинством в 2 и 5 тугриков, а у кондуктора вообще ничего. Оказалось, что все пассажиры смогли заплатить за проезд и получить сдачу. Какое наименьшее суммарное количество тугриков могло быть у пассажиров? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4.  На катетах $AC$ и $BC$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD=CE$. Перпендикуляры на прямую $AE$, проходящие через точки $C$ и $D$, пересекают сторону $AB$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $BP=PQ$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №5.  Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Точка $H$ — его ортоцентр, точки $O$ и $I$ — центры его описанной и вписанной окружностей соответственно. Описанная окружность треугольника $OIH$ проходит через вершину~$A$. Докажите, что один из углов треугольника равен $60^\circ$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  В однокруговом шахматном турнире участвуют по $10$ игроков из двух стран. За победу дается одно очко, за ничью — пол-очка, за поражение — ноль. Все игроки набрали разное число очков. Докажите, что один из шахматистов набрал во встречах со своими соотечественниками не меньше очков, чем во встречах с игроками из другой страны. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7.  На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбраны точки $X$ и $Y$, на стороне $AC$ — точка $Z$, и на стороне $BC$ — точка $T$. При этом $XZ \parallel BC$, $YT \parallel AC$. Прямая $TZ$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что точки $X$, $Y$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №8.  Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны, $CD > AB+BC$. Докажите, что $\angle ABC > 120^\circ$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №9.  Каждое из подмножеств $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$ 2009-элементного множества $X$ содержит не менее 4 элементов. Пересечение любых двух из этих подмножеств содержит не более 2 элементов. Докажите, что в $X$ можно найти 24-элеметное подмножество $B$, не содержащее ни одного из множеств $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада