Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2004 год

На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число $r$ на $\sqrt{r+1}$. Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )

Комментарий/решение

$r_i=\dfrac{a}{b},(a,b)=1.$ $r_{i+1}=\sqrt{r_i+1}=\sqrt{\dfrac{a+b}{b}}\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow \sqrt{a+b},\sqrt{b}\in \mathbb{Z},$

но $(\sqrt{a+b},\sqrt{b})=1$, поэтому $b=n^{2^km}$. За минуту показатель $2^km$ уменьшается вдвое, поэтому в какой-то момент число станет иррациональным.