Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2004 год

Задача №1. На доске написано положительное рациональное число. Каждую минуту Вася заменяет написанное на доске число

$r$ на

$\sqrt{r+1}$ . Докажите, что когда-нибудь он получит иррациональное число. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1)

Задача №2. При каких натуральных

$n \geq 3$ числа от 1 до

$n$ можно расставить по кругу так, чтобы каждое число не превосходило 60% суммы двух своих соседей? ( А. Храбров )
комментарий/решение

Задача №3. Точка

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Некоторая окружность проходит через точки

$B$ и

$C$ и пересекает стороны

$AB$ и

$AC$ треугольника. На ее дуге, лежащей внутри треугольника, выбраны точки

$D$ и

$E$ так, что отрезки

$BD$ и

$CE$ проходят через точку

$O$ . Перпендикуляр

$DD_1$ к стороне

$AB$ и перпендикуляр

$EE_1$ к стороне

$AC$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что точки

$A$ ,

$M$ и

$O$ лежат на одной прямой. ( Ф. Бахарев )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Даны непересекающиеся конечные множества натуральных чисел

$A$ и

$B$ , состоящие из

$n$ и

$m$ элементов соответственно. Известно, что каждое натуральное число, принадлежащее

$A$ или

$B$ , удовлетворяет хотя бы одному из условий

$k+17 \in A$ ,

$k-31 \in B$ . Докажите, что

$17n=31m$ . ( C.Gonciulea )
комментарий/решение

Задача №5. 50 рыцарей короля Артура сидели за круглым столом. Перед каждым из них стоял бокал красного или белого вина. Известно, что на столе стоял хотя бы один бокал красного вина и хотя бы один бокал белого вина. Король два раза хлопнул в ладоши. После первого хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал красного вина, взял у своего левого соседа его бокал, а после второго хлопка каждый рыцарь, перед которым стоял бокал белого вина (и, возможно, что-нибудь еще), передал этот бокал левому соседу своего левого соседа. Докажите, что кто-то из рыцарей остался без вина. ( А. Храбров )
комментарий/решение

Задача №6. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей — целая. Докажите, что если

$m$ — хорошее число, а

$p > m$ — простое, то число

$pm$ не является хорошим. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №7. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается сторон

$AB$ и

$BC$ в точках

$P$ и

$Q$ . Прямая

$PQ$ пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точках

$X$ и

$Y$ . Найдите

$\angle XBY$ , если

$\angle ABC = 90^\circ$ . ( А. Смирнов )
комментарий/решение(2)

Задача №8. В клетках доски

$n \times n$ расставлены нули и единицы. Во всех клетках левого столбца стоят единицы, и в каждой фигурке вида

(состоящей из клетки и ее соседей слева и снизу) сумма чисел четна. Докажите, что в таблице нет двух одинаковых строк.
комментарий/решение