Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год
Задача №1. На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника
ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE.
Перпендикуляры на прямую AE, проходящие
через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q.
Докажите, что BP=PQ.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться,
что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из
оставшихся чисел?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан выпуклый n-угольник (n≥5). Докажите, что
количество треугольников площади 1 с вершинами в вершинах n-угольника
не превосходит 13n(2n−5).
(
A.Negut
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 3. Докажите
неравенство
1x2+y+z+1x+y2+z+1x+y+z2≤1.
(
V.Ci.rtoaje
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Квадратные трехчлены f, g и h таковы, что при каждом вещественном
x числа f(x), g(x) и h(x) являются длинами сторон некоторого
треугольника, а числа f(x)−1, g(x)−1 и h(x)−1 не являются
длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы
из многочленов f+g−h, f+h−g, g+h−f постоянен.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Палиндромическим разбиением натурального числа A
называется запись A в виде суммы натуральных
слагаемых A=a1+a2+…+an−1+an (n≥1), в которой
a1=an, a2=an−1 и вообще, ai=an+1−i при 1≤i≤n.
Например, 16=16, 16=2+12+2 и 16=7+1+1+7 —
палиндромические разбиения числа 16.
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Задача №7. Медиана BM треугольника ABC пересекает описанную окружность в
точке K. Описанная окружность треугольника KMC пересекает отрезок BC в
точке P, а описанная окружность треугольника AMK пересекает
продолжение стороны BA в точке Q. Докажите, что PQ>AC.
(
А. Смирнов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Из картонного клетчатого прямоугольника 8×7
вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого
столбца (всего в нем 14 клеток). Клетки бесконечной клетчатой
плоскости покрашены в k цветов так, что при любом положении картонного
уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые
им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем k это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение