Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год


Задача №1.  На катетах AC и BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что CD=CE. Перпендикуляры на прямую AE, проходящие через точки C и D, пересекают сторону AB в точках P и Q. Докажите, что BP=PQ. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан выпуклый n-угольник (n5). Докажите, что количество треугольников площади 1 с вершинами в вершинах n-угольника не превосходит 13n(2n5). ( A.Negut )
комментарий/решение
Задача №4. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 3. Докажите неравенство 1x2+y+z+1x+y2+z+1x+y+z21. ( V.Ci.rtoaje )
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Квадратные трехчлены f, g и h таковы, что при каждом вещественном x числа f(x), g(x) и h(x) являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа f(x)1, g(x)1 и h(x)1 не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы из многочленов f+gh, f+hg, g+hf постоянен. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)
Задача №6. Палиндромическим разбиением натурального числа A называется запись A в виде суммы натуральных слагаемых A=a1+a2++an1+an (n1), в которой a1=an, a2=an1 и вообще, ai=an+1i при 1in. Например, 16=16, 16=2+12+2 и 16=7+1+1+7 — палиндромические разбиения числа 16.
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Задача №7.  Медиана BM треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке K. Описанная окружность треугольника KMC пересекает отрезок BC в точке P, а описанная окружность треугольника AMK пересекает продолжение стороны BA в точке Q. Докажите, что PQ>AC. ( А. Смирнов )
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Из картонного клетчатого прямоугольника 8×7 вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого столбца (всего в нем 14 клеток). Клетки бесконечной клетчатой плоскости покрашены в k цветов так, что при любом положении картонного уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем k это возможно? ( С. Берлов )
комментарий/решение