қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год
Задача №1. На катетах $AC$ и $BC$ равнобедренного прямоугольного треугольника
$ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD=CE$.
Перпендикуляры на прямую $AE$, проходящие
через точки $C$ и $D$, пересекают сторону $AB$ в точках $P$ и $Q$.
Докажите, что $BP=PQ$.
(
из материалов олимпиад
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться,
что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из
оставшихся чисел?
(
Ф. Петров,
К. Сухов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан выпуклый $n$-угольник ($n\geq 5$). Докажите, что
количество треугольников площади 1 с вершинами в вершинах $n$-угольника
не превосходит ${1\over 3}n(2n-5)$.
(
A.Negut
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Сумма неотрицательных чисел $x$, $y$ и $z$ равна 3. Докажите
неравенство
$$ {1\over x^2+y+z} + {1\over x+y^2+z} + {1\over x+y+z^2} \leq 1 .$$
(
V.Ci.rtoaje
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. Квадратные трехчлены $f$, $g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном
$x$ числа $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ являются длинами сторон некоторого
треугольника, а числа $f(x)-1$, $g(x)-1$ и $h(x)-1$ не являются
длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы
из многочленов $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ постоянен.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Палиндромическим разбиением натурального числа $A$
называется запись $A$ в виде суммы натуральных
слагаемых $A = a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n$ ($n \geq 1$), в которой
$a_1=a_n$, $a_2=a_{n-1}$ и вообще, $a_i=a_{n+1-i}$ при $1\leq i \leq n$.
Например, $16=16$, $16=2+12+2$ и $16=7+1+1+7$ —
палиндромические разбиения числа 16.
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Найдите количество всех палиндромических разбиений числа 2006. ( M. Capobianco )
комментарий/решение
Задача №7. Медиана $BM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность в
точке $K$. Описанная окружность треугольника $KMC$ пересекает отрезок $BC$ в
точке $P$, а описанная окружность треугольника $AMK$ пересекает
продолжение стороны $BA$ в точке $Q$. Докажите, что $PQ > AC$.
(
А. Смирнов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Из картонного клетчатого прямоугольника $8\times 7$
вырезан уголок, состоящий из всех клеток первой строки и первого
столбца (всего в нем $14$ клеток). Клетки бесконечной клетчатой
плоскости покрашены в $k$ цветов так, что при любом положении картонного
уголка на этой плоскости (с учетом поворотов и переворотов) все покрытые
им клетки имеют разный цвет. При каком наименьшем $k$ это возможно?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение