Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2006 жыл


x, y, z теріс емес сандарының қосындысы 3-ке тең болса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: 1x2+y+z+1x+y2+z+1x+y+z21. ( V.Ci.rtoaje )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 2 месяца назад #

x,y,z{x,y,z0|x+y+z=3}:1x2+y+z+1x+y2+z+1x+y+z21

x+y+z=3{x+y=3zy+z=3xz+x=3y1x2x+3+1y2y+3+1z2z+31

Рассмотрим функцию f(t)=1t2t+3 на интервале t(0,3). При x=y=z=1 неравенство обращается в равенство. Составим уравнение касательной к графику функции f(t) в точке t0=1:

y=f(1)+f(1)(t1)=4t9

и теперь докажем, что для любого t(0,1)(1,3) справедливо неравенство:

1t2t+3<4t9

1t2t+3+t49<0t35t2+7t39(t2t+3)<0(t1)2(t3)9(t2t+3)<0t(0,1)(1,3)

Отсюда имеем неравенства;

1x2x+3+1y2y+3+1z2z+312(x+y+z)9=1

  1
2 года назад #

Коши-Буняковский теңсіздігінен:

(x2+y+z)(1+y+z)(x+y+z)2=9  1x2+y+z1+y+z9

1x2+y+z+1y2+z+x+1z2+x+y1+y+z9+1+z+x9+1+x+y9=3+2(x+y+z)9=1

пред. Правка 2   2
1 года 4 месяца назад #