Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год
Медиана BM треугольника ABC пересекает описанную окружность в
точке K. Описанная окружность треугольника KMC пересекает отрезок BC в
точке P, а описанная окружность треугольника AMK пересекает
продолжение стороны BA в точке Q. Докажите, что PQ>AC.
(
А. Смирнов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Не смог загрузить изображение
Для начала докажем, что PMQ - прямая. Продлим QM до пересечения с BC в точке P′, рассмотрим для четырехсторонника CBQP′ точку Микеля - это точка K, ведь K лежит на описанных окружностях △CBA и AMQ, тогда PMKC,P′MKC - вписанные четырехугольники, ⇒P=P′. Заметим, что ∠BKC=∠BAC=α,∠BPM=180−∠MPC=α,⇒△BPQ∼△BAC,⇒PQ/AC=BP/AB>1(!). MC>MP, ведь 180−α>180−α−β, то есть AM>MP,⇒BP>AB, Ч.Т.Д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.