Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2006 год


Медиана BM треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке K. Описанная окружность треугольника KMC пересекает отрезок BC в точке P, а описанная окружность треугольника AMK пересекает продолжение стороны BA в точке Q. Докажите, что PQ>AC. ( А. Смирнов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 3 месяца назад #

Не смог загрузить изображение

Для начала докажем, что PMQ - прямая. Продлим QM до пересечения с BC в точке P, рассмотрим для четырехсторонника CBQP точку Микеля - это точка K, ведь K лежит на описанных окружностях CBA и AMQ, тогда PMKC,PMKC - вписанные четырехугольники, P=P. Заметим, что BKC=BAC=α,BPM=180MPC=α,BPQBAC,PQ/AC=BP/AB>1(!). MC>MP, ведь 180α>180αβ, то есть AM>MP,BP>AB, Ч.Т.Д.