Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2006 жыл

Есеп №1.

$CD=CE$ болатындай,

$ABC$ теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышының

$AC$ және

$BC$ катеттерінде

$D$ және

$E$ нүктелері алынды.

$C$ және

$D$ нүктелері арқылы өтетін,

$AE$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр

$AB$ қабырғасын

$B$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$BP=PQ$ екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Әртүрлі 10 тақ, жай сандар берілсін. Кез-келген екеуінің он алтыншы дәрежелерінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес

$n$ қабырғасы бар көпбұрыш берілсін (

$n\ge 5$ ). Төбелері

$n$ қабырғалы көпбұрыштың төбелерінде жататын, ауданы 1 болатын үшбұрыштардың саны

$\dfrac{1}{3}n(2n-5)$ санынан артық емес екенін дәлелдеңіз. ( A.Negut )
комментарий/решение

Есеп №4.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ теріс емес сандарының қосындысы 3-ке тең болса, келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\dfrac{1}{{{x}^{2}}+y+z}+\dfrac{1}{x+{{y}^{2}}+z}+\dfrac{1}{x+y+{{z}^{2}}}\le 1$ . ( V.Ci.rtoaje )
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Әрбір нақты

$x$ үшін

$f(x)$ ,

$g(x)$ және

$h\left( x \right)$ сандары қандай да бір үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болатындай, ал

$f\left( x \right)-1$ ,

$g\left( x \right)-1$ және

$h\left( x \right)-1$ сандары үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болмайтындай,

$f$ ,

$g$ және

$h$ квадрат үшмүшелері табылады.

$f+g-h$ ,

$f+h-g$ ,

$g+h-f$ үшмүшелерінің біреуі тұрақты екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$A$ санының полиндромикалық бөлінуі деп,

$A$ санының,

${{a}_{1}}={{a}_{n}}$ ,

${{a}_{2}}={{a}_{n-1}}$ және

$1\le i\le n$ үшін,

${{a}_{i}}={{a}_{n+1-i}}$ болатындай,

$A={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{n-1}}+{{a}_{n}}(n\ge 1)$ натурал сандардың қосындысы түріндегі жазылуын атайық. Мысалы,

$16=16$ ,

$16=2+12+2$ және

$16=7+1+1+7$ , он алты санының палиндромикалық жіктелуі. 2006 санының барлық палиндромикалық жіктелулерінің санын табыңыз. ( M. Capobianco )
комментарий/решение

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышының

$BM$ медианасы сырттай сызылған шеңберді

$K$ нүктесінде қияды.

$KMC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$BC$ кесіндісін

$P$ нүктесінде қияды, ал

$AMK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$BA$ қабырғасының созындысын

$Q$ нүктесінде қияды.

$PQ > AC$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Смирнов )
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$8\times 7$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады (14 тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары

$k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды.

$k$ -ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение