из материалов олимпиад


Есеп №1. Сиқыршы көрерменнен үштаңбалы $\overline{abc}$ санын ойлауын және $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$, $\overline{cba}$ сандарының қосындысын айтуын сұрады. Ол осы қосынды арқылы ойлаған санды таба алатынын айтты. Сиқыршы өтірік айтуы мүмкін бе? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Тақтаға оң рационал сан жазылды. Әр минут сайын Вася, тақтаға жазылған $r$ санын $\sqrt{r+1}$ санына ауыстырып отыр. Бір кезде ол иррационал сан алатынын дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Трамвайдың жол ақысы $1$ тугрик. $20$ жолаушының $2$ және $5$ тугриктен тұратын тиындары бар, ал кондукторда әлі ештеңе жоқ. Онда да әрбір жолаушы жол ақысын төлеп, артық төлегендерін қайырып алды. Жолаушыларда тугриктердің ең аз дегенде жалпы саны қанша болуы мүмкін еді? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. $CD=CE$ болатындай, $ABC$ теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышының $AC$ және $BC$ катеттерінде $D$ және $E$ нүктелері алынды. $C$ және $D$ нүктелері арқылы өтетін, $AE$ түзуіне жүргізілген перпендикуляр $AB$ қабырғасын $B$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $BP=PQ$ екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №5. $ABC$ сүйір бұрышты, теңбүйірлі емес үшбұрышы берілсін. $H$ нүктесі осы үшбұрыштың ортоцентрі, ал $O$ және $I$ нүктелері осы үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $OIH$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер, $A$ төбесі арқылы өтеді. Үшбұрыштың бір бұрышы $60{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Бір айналымнан тұратын шахмат турниріне екі елден 10 ойыншы қатысуда. Жеңіс үшін 1 ұпай, тең ойын үшін $0,\!5$ ұпай, ал жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі. Барлық ойыншылар әртүрлі ұпай санын жинады. Бір ойыншыда, өз отандастарымен ойнаған ойындардан жинаған ұпай сандары, қарсылас команда ойыншыларымен ойнаған ойындарда жинаған ұпай санынан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $X$ және $Y$ нүктелері, $AC$ қабырғасы бойынан $Z$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасы бойынан $T$ нүктесі алынсын. Сонымен қатар $XZ\parallel BC$, $YT\parallel AC$ екені белгілі. $TZ$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $D$ және $E$ нүктелерінде қияды. $X$, $Y$, $D$ және $E$ нүктелері бір шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. $ABCD$ іштей сызылған төртбұрышында, $AB$ және $AD$ қабырғалары тең және $CD > AB+BC$. $\angle ABC > 120{}^\circ $ екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №9. 2009 элементтен тұратын $X$ жиынының ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{n}}$ ішкі жиындары кем-дегенле төрт мүшеден тұрады. Кез-келген екі ішкі жиынның қиылысуында ең көп дегенде 2 элемент бар. $X$ жиынында, ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, $\ldots$, ${{A}_{n}}$ жиындарының ешқайсысын қамтымайтын, 24 элементтен тұратын $B$ жиыны бар екенін дәлелдеңіз. ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение(1) олимпиада