Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2009 жыл

Есеп №1. Үш нақты сан берілсін. Кез келген екеуінің көбейтіндісінде, бөлшек бөлім

$\dfrac{1}{2}$ -ге тең. Осы сандар иррационал екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Алқа 100 көк түсті және бірнеше қызыл түсті моншақтардан тұрады. 8 көк моншағы бар кез келген кесіндіде кем-дегенде 5 қызыл моншақ бар. Алқада кем-дегенде неше қызыл түсті моншақтар болуы мүмкін? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №3.

$BD$ диагоналі

$CX$ кесіндісін, ал

$AC$ диагоналі

$DX$ кесіндісін тең екіге бөлетіндей,

$ABCD$ іштей сызылған төртбұрыштың

$AB$ қабырғасында

$X$ нүктесі табылды.

$\dfrac{AB}{CD}$ шамасы қандай ең кіші мән қабылдай алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №4.

$\sqrt{n}$ ,

$\sqrt{n+1}$ ,

$\sqrt{n+2}$ ,

$\ldots$ ,

$\sqrt{n+999}$ сандарының ондық санау жүйесінде, үтірден кейін 200 цифрлар арасында жүз рет 0, жүз рет бірлік, \ldots, жүз рет тоғыз кездесетіндей, натурал

$n$ бар ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №5. Сиқыршы көрерменнен үштаңбалы

$\overline{abc}$ санын ойлауын және

$\overline{acb}$ ,

$\overline{bac}$ ,

$\overline{bca}$ ,

$\overline{cab}$ ,

$\overline{cba}$ сандарының қосындысын айтуын сұрады. Ол осы қосынды арқылы ойлаған санды таба алатынын айтты. Сиқыршы өтірік айтуы мүмкін бе? ( из материалов олимпиад )
комментарий/решение

Есеп №6. Егер

$2\times 2$ шаршысында 3 фишкадан артық фишка тұрмаса,

$n\times n$ шаршысының торларындағы фишкалардың орналасуын сирек деп атайық. Фишкалардың сирек орналасуы қалыптасатындай, Сергей тақтаның кейбір торларына бір фишкадан қойды. Алайда, ол, егер кез-келген фишканы бос торға алмастырса, барлық фишкалардың орналасуы сирек болмай кететінін байқады.

$n$ -нің қандай мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышы берілсін.

${{B}_{1}}$ бұрышы

$B$ төбесіне

$AC$ түзуіне қатысты симметриялы, ал

$C_1$ нүктесі

$C$ нүктесіне

$AB$ түзуіне қатысты симметриялы.

$O_1$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центріне,

$BC$ түзуіне қатысты симметриялы.

$AB_1C_1$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі

$AO_1$ түзуінде жататынын дәлелдеңіз. ( А. Акопян )
комментарий/решение

Есеп №8. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен

$h$ санын табыңыз: кез-келген

$a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін,

$P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген

$P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін

$P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және

${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай,

${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение