Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, II тур заключительного этапа


Задача №1.  Некоторое натуральное число a разделили с остатком на числа 1, 2, 3, , 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, , 99? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 100. На сторонах AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX=CY. Оказалось, что прямая YD параллельна биссектрисе угла ABC. Найдите угол AXY. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Дано нечётное натуральное число a, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида an24, где n — натуральное число. Оказалось, что при na/5 все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)
результаты