Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2016-2017 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. Некоторое натуральное число a разделили с остатком на числа 1, 2, 3, …, 1000. Могло ли так случиться, что среди остатков ровно по 10 раз встретятся числа 0, 1, 2, 3, …, 99?
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 100∘. На сторонах AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX=CY. Оказалось, что прямая YD параллельна биссектрисе угла ABC. Найдите угол AXY.
(
С. Берлов,
А. Кузнецов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Дано нечётное натуральное число a, большее 100. На доску выписали все натуральные числа вида a−n24, где n — натуральное число. Оказалось, что при n≤√a/5 все они простые. Докажите, что и каждое из остальных выписанных на доску натуральных чисел простое или равно единице.
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)