Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры
Комментарий/решение:
Если a при делении на 4 дает остаток 3, на доске вообще нет целых чисел , потому что квадраты при делении на 4 могут давать только остатки 0 или 1.В этом случае утверждение задачи ,очевидно, верно.Дальше считаем , что a дает при делении на 4 остаток 1. Тогда , полагая n=1 , получаем a=4p+1 , где p=a−14− простое.Заметим , что число a−n24 является целым тогда и только тогда ,когда n нечётно. Поскольку при нечётном n разность p−a−n24=n2−14 чётна , все целые числа вида a−n24 нечётны.
Пусть для некоторого a условие задачи выполнено , а утверждение - нет.
Рассмотрим наименьшее такое n , что число b=a−n24− составное.Обозначим через u его наименьший простой делитель .Так как n>√a/5,выполнено неравенство b=a−n24<a/5 . Поэтому u<√a/5<n, откуда −n<n−2u<n.Значит , (n−2u)2<n2,причём n−2u не равно 0 , так как n нечётно.Легко видеть , что число a−(n−2u)24 натуральное, делится на u и больше b, то есть оно не простое и не единица следовательно , число |n−2u| ,меньшее, чем n , также порождает составное натуральное число, что противоречит минимальности n.
Условие задачи выполнено, например ,для a=173.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.