Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры


100-ден үлкен натурал тақ a саны берілген. Тақтаға an24 түріндегі барлық натурал сандарды жазып шықты, бұл жерде n — натурал сан. na/5 болған жағдайда, олардың барлығы жай сандар екені белгілі. Ондай болса, қалған жазылған сандардың барлығы да жай немесе 1-ге тең сан екенін дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 месяца 4 дней назад #

Если a при делении на 4 дает остаток 3, на доске вообще нет целых чисел , потому что квадраты при делении на 4 могут давать только остатки 0 или 1.В этом случае утверждение задачи ,очевидно, верно.Дальше считаем , что a дает при делении на 4 остаток 1. Тогда , полагая n=1 , получаем a=4p+1 , где p=a14 простое.Заметим , что число an24 является целым тогда и только тогда ,когда n нечётно. Поскольку при нечётном n разность pan24=n214 чётна , все целые числа вида an24 нечётны.

Пусть для некоторого a условие задачи выполнено , а утверждение - нет.

Рассмотрим наименьшее такое n , что число b=an24 составное.Обозначим через u его наименьший простой делитель .Так как n>a/5,выполнено неравенство b=an24<a/5 . Поэтому u<a/5<n, откуда n<n2u<n.Значит , (n2u)2<n2,причём n2u не равно 0 , так как n нечётно.Легко видеть , что число a(n2u)24 натуральное, делится на u и больше b, то есть оно не простое и не единица следовательно , число |n2u| ,меньшее, чем n , также порождает составное натуральное число, что противоречит минимальности n.

Условие задачи выполнено, например ,для a=173.